Mostre as seguintes fórmulas por indução:
1^2+2^2+ldots+n^2=n(n+1)(2 n+1)6.

Passo 1

O enunciado pede para provar por indução que
1^2 + 2^2 + dots + n^2 = n(n+1)(2n+1)6
O conteúdo é prova por indução matemática, que envolve verificar o caso base e, em seguida, o passo indutivo.

Passo 2

Caso base ( n=1):
1^2 = 1 e 1cdot2cdot36=1
Logo, a fórmula vale para n=1.

Passo 3

Hipótese de indução: suponha que para um k>=1 seja verdade que
1^2 + 2^2 + dots + k^2 = k(k+1)(2k+1)6
Vamos mostrar então que vale para n=k+1.

Passo 4

Somamos (k+1)^2 aos dois lados da hipótese:
1^2 + dots + k^2 + (k+1)^2 = k(k+1)(2k+1)6 + (k+1)^2
Fatorando (k+1) e reunindo em denominador comum:
= (k+1)l(k(2k+1)6 + (k+1)r) = (k+1),2k^2+k+6k+66 = (k+1),2k^2+7k+66
Como 2k^2+7k+6=(k+2)(2k+3), temos
= (k+1)(k+2)(2k+3)6 = (k+1)l((k+1)+1r)l(2(k+1)+1r)6,
que é exatamente a fórmula para n=k+1. Assim, o passo indutivo está concluído.

Resposta

Por indução, conclui-se que
1^2 + 2^2 + dots + n^2 = n(n+1)(2n+1)6
vale para todo ninN.

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