Para
, mostre que
;
Passo 1
O enunciado pede para mostrarmos, em
(que é um anel comutativo com unidade), que o produto de dois inteiros negativos é igual ao produto dos mesmos inteiros sem sinal, ou seja
Para isso vamos usar:
– a definição de inverso aditivo (em particular é tal que
);
– o fato de que ;
– a associatividade e comutatividade da multiplicação;
– a distributividade da multiplicação sobre a adição;
– o elemento neutro multiplicativo .
– a definição de inverso aditivo (em particular
– o fato de que
– a associatividade e comutatividade da multiplicação;
– a distributividade da multiplicação sobre a adição;
– o elemento neutro multiplicativo
Passo 2
Primeiro escrevemos cada entrada negativa como produto por
:
Logo
Passo 3
Usando associatividade e comutatividade da multiplicação, podemos agrupar assim:
Portanto
Passo 4
Falta mostrar que
. Observe que
. Pela distributividade,
Mas
e
. Então
Isso dá
Passo 5
Substituindo
em
obtemos