Para a, b, c in Z, mostre que
(-a)(-b)=a b;

Passo 1

O enunciado pede para mostrarmos, em Z (que é um anel comutativo com unidade), que o produto de dois inteiros negativos é igual ao produto dos mesmos inteiros sem sinal, ou seja
(-a)(-b)=a,b
Para isso vamos usar:
– a definição de inverso aditivo (em particular -a é tal que a+(-a)=0);
– o fato de que -a=(-1)cdot a;
– a associatividade e comutatividade da multiplicação;
– a distributividade da multiplicação sobre a adição;
– o elemento neutro multiplicativo 1inZ.

Passo 2

Primeiro escrevemos cada entrada negativa como produto por -1:
(-a)=(-1)cdot a, (-b)=(-1)cdot b
Logo
(-a)(-b) =l((-1)cdot ar)l((-1)cdot br)

Passo 3

Usando associatividade e comutatividade da multiplicação, podemos agrupar assim:
(-a)(-b) =l((-1)cdot(-1)r)cdot(acdot b)
Portanto
(-a)(-b)=l((-1)(-1)r),a,b

Passo 4

Falta mostrar que (-1)(-1)=1. Observe que 1+(-1)=0. Pela distributividade,
0;=;(1+(-1)),(1+(-1)) ;=;1cdot1 ;+;1cdot(-1);+;(-1)cdot1;+;(-1)cdot(-1)
Mas 1cdot1=1 e 1cdot(-1)=(-1)cdot1=-1. Então
0 ;=;1 +(-1)+(-1)+(-1)(-1) ;=; l(1+(-1)r)+(-1)+(-1)(-1) ;=;0 +(-1)+(-1)(-1)
Isso dá
0 = -1 +(-1)(-1) Longrightarrow (-1)(-1)=1

Passo 5

Substituindo (-1)(-1)=1 em
(-a)(-b)=l((-1)(-1)r),a,b,
obtemos
(-a)(-b)=1cdot a,b = a,b

Resposta

(-a)(-b)=a,b

Exercícios relacionados