Mostre que se v / c=0,999 ldots 995 (onde há 2 n números 9 ) o fator de Lorentz pode ser aproximado por gamma(v) approx 10^n.

Passo 1

Resumo do enunciado: A gente tem uma partícula com velocidade v tal que o fator de velocidade é beta=vc=0,999dots995, onde aparecem 2n algarismos 9 antes do 5. O conteúdo da matéria é a relatividade restrita, mais especificamente o fator de Lorentz gamma(v)=1raiz1-beta^2. Para resolver, vamos aproximar beta perto de 1 e usar expansão de pequenas quantidades.

Passo 2

Definir a pequena diferença em relação a 1: como beta=1-varepsilon e sabemos que beta=0,999dots995=1-5times10^-(2n+1), concluímos que
varepsilon=1-beta=5times10^-(2n+1)

Passo 3

Calcular 1-beta^2: usando (1-varepsilon)^2=1-2varepsilon+varepsilon^2, temos
1-beta^2=1-(1-varepsilon)^2=2varepsilon-varepsilon^2approx2varepsilon

Passo 4

Como varepsilon é muito pequeno, desprezamos varepsilon^2 e substituímos varepsilon=5times10^-(2n+1):
2varepsilon=2cdot5times10^-(2n+1)=10times10^-(2n+1)=10^-2n

Passo 5

Finalizar gamma(v):
gamma(v)=1raiz1-beta^2approx1raiz10^-2n=10^n

Resposta

gamma(v)approx10^n

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