Seja o vetor desconhecido Y satisfazendo as seguintes relações com os vetores conhecidos A, B e o escalar phi: Y times A=B e Y cdot A=phi. Mostre que
Y=phi AA^2+A times BA^2

Passo 1

O enunciado pede para achar o vetor desconhecido Y que satisfaz duas condições de álgebra vetorial: o produto vetorial YtimesA=B e o produto escalar YcdotA=phi. Vamos usar decomposição de vetores em componentes paralela e perpendicular a A e identidades de produtos vetoriais.

Passo 2

Como Y pode ser escrito como a soma de uma parte paralela a A e outra perpendicular, definimos
Y=Yparal<=l+Yperp,
com Yparal<=l=lambda,A e YperpcdotA=0.

Passo 3

Aplicando o produto escalar conhecido:
YcdotA=phi
substituindo Y=lambda,A+Yperp temos
(lambda,A+Yperp)cdotA=lambda,A^2+0=phi
aí vem lambda=phi/A^2 e
Yparal<=l=phiA^2,A

Passo 4

Agora o produto vetorial:
YtimesA=B
separando as partes,
(Yparal<=l+Yperp)timesA=Yparal<=ltimesA+YperptimesA=0+YperptimesA=B
Para isolar Yperp, cruzamos ambos os lados com A:
AtimesB=Atimes(YperptimesA)

Passo 5

Usamos agora a identidade do produto vetorial triplo:
Atimes(YperptimesA)=Yperp,(AcdotA)-A,(YperpcdotA)
como YperpcdotA=0 e AcdotA=A^2, resulta
AtimesB=A^2,Yperp
portanto
Yperp=AtimesBA^2

Passo 6

Somando as partes paralela e perpendicular concluímos que
Y=Yparal<=l+Yperp=phi,AA^2+AtimesBA^2

Resposta

Y=phi,AA^2+AtimesBA^2

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