Seja
uma matriz
e
uma matriz
. Se o sistema linear
possui duas soluções distintas
, então elee têm infinitas soluções. (Sugestão: Mostrar que
é solução para qualquer
).
Passo 1
O enunciado diz que temos uma matriz
de tamanho
e um vetor coluna
de tamanho
. O sistema
possui duas soluções distintas
. O que precisamos mostrar é que, a partir dessas duas soluções, podemos gerar infinitas outras. O conteúdo usado aqui é a linearidade de
e o fato de que a diferença de duas soluções está no núcleo de
.
Passo 2
Definimos, para cada
, o vetor
Esse é um palpite de solução “entre”
e
. Agora vamos verificar que ele resolve o sistema.
Passo 3
Usando a linearidade do produto matriz-vetor, temos
Portanto, para todo
,
satisfaz
.
Passo 4
Como
, a família
é infinita e todos são distintos (por exemplo, variando
obtemos pontos diferentes numa reta). Logo o sistema tem infinitas soluções.
Resposta
Para todo
,
é solução de
. Como há infinitos valores de
, há infinitas soluções.