Seja A uma matriz m x n e B uma matriz m x 1. Se o sistema linear A X=B possui duas soluções distintas X0 neq X1, então elee têm infinitas soluções. (Sugestão: Mostrar que Xlambda=(1-lambda) X0+lambda X1 é solução para qualquer lambda in R ).

Passo 1

O enunciado diz que temos uma matriz A de tamanho mtimes n e um vetor coluna B de tamanho mtimes1. O sistema
A,X = B
possui duas soluções distintas ,X0neq X1. O que precisamos mostrar é que, a partir dessas duas soluções, podemos gerar infinitas outras. O conteúdo usado aqui é a linearidade de A e o fato de que a diferença de duas soluções está no núcleo de A.

Passo 2

Definimos, para cada lambdainR, o vetor
Xlambda ;=;(1-lambda),X0 ;+;lambda,X1
Esse é um palpite de solução “entre” X0 e X1. Agora vamos verificar que ele resolve o sistema.

Passo 3

Usando a linearidade do produto matriz-vetor, temos
A,Xlambda = Al((1-lambda)X0+lambda X1r) = (1-lambda),A X0 ;+;lambda,A X1 = (1-lambda),B ;+;lambda,B = B
Portanto, para todo lambdainR, Xlambda satisfaz A,Xlambda=B.

Passo 4

Como X0neq X1, a família XlambdalambdainR é infinita e todos são distintos (por exemplo, variando lambda obtemos pontos diferentes numa reta). Logo o sistema tem infinitas soluções.

Resposta

Para todo lambdainR,
Xlambda = (1-lambda),X0 + lambda,X1
é solução de A,X=B. Como há infinitos valores de lambda, há infinitas soluções.

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