Mostre que a aceleração a de um objeto pode ser escrita como a=v d vd x. Então combine isso com F=m a para provar o teorema do trabalho-energia: o trabalho realizado em um objeto (sem estrutura interna) é igual à variação de sua energia cinética.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a aceleração $ a $ de um objeto pode ser escrita como $ a = v \frac{dv}{dx} a F = m a $) para provar o teorema trabalho-energia, que diz que o trabalho feito sobre um objeto é igual à variação da sua energia cinética. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática e dinâmica, como aceleração, velocidade, força e energia cinética.

Passo 2

Primeiro, vamos relacionar aceleração com a velocidade e a posição. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
a = dvdt
Mas queremos expressar $ a $ em termos de $ v $ e $ x $. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos permite escrever:
a
Sabemos que $ \frac{dx}{dt} $ é a velocidade $ v $, então:
v

Passo 3

Agora que temos $ a = v \frac{dv}{dx} $, vamos usar a segunda lei de Newton, que afirma que a força $ F $ aplicada em um objeto é igual à massa $ m $ do objeto multiplicada pela aceleração:
a = v dvdx
Substituindo a expressão que encontramos para $ a $:
F

Passo 4

Para relacionar força e trabalho, lembramos que o trabalho $ W $ realizado por uma força ao mover um objeto de uma posição $ x_1 $ para $ x_2 $ é dado por:
W
Substituindo $ F $ pela expressão que encontramos:
x1
Aqui, $ \frac{dv}{dx} , dx $ simplifica para $ dv $, então a integral fica:
x2

Passo 5

Resolvendo a integral:
W = m [ v^22 ]v1^v2 = m ( v2^22 - v1^22 )
Isso representa a variação da energia cinética $ \Delta KE $, já que a energia cinética é dada por:
De
Portanto:
KE = 12 m v^2

Resposta

Assim, mostramos que o trabalho realizado sobre o objeto é igual à variação da sua energia cinética, provando o teorema trabalho-energia.

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