Mostre que a aceleração
de um objeto pode ser escrita como
. Então combine isso com
para provar o teorema do trabalho-energia: o trabalho realizado em um objeto (sem estrutura interna) é igual à variação de sua energia cinética.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente mostrar que a aceleração $ a $ de um objeto pode ser escrita como $ a = v \frac{dv}{dx}
F = m a $) para provar o teorema trabalho-energia, que diz que o trabalho feito sobre um objeto é igual à variação da sua energia cinética. Para resolver isso, vamos precisar entender conceitos de cinemática e dinâmica, como aceleração, velocidade, força e energia cinética.
Passo 2
Primeiro, vamos relacionar aceleração com a velocidade e a posição. Sabemos que aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo:
Mas queremos expressar $ a $ em termos de $ v $ e $ x $. Para isso, usamos a regra da cadeia, que nos permite escrever:
Sabemos que $ \frac{dx}{dt} $ é a velocidade $ v $, então:
Passo 3
Agora que temos $ a = v \frac{dv}{dx} $, vamos usar a segunda lei de Newton, que afirma que a força $ F $ aplicada em um objeto é igual à massa $ m $ do objeto multiplicada pela aceleração:
Substituindo a expressão que encontramos para $ a $:
Passo 4
Para relacionar força e trabalho, lembramos que o trabalho $ W $ realizado por uma força ao mover um objeto de uma posição $ x_1 $ para $ x_2 $ é dado por:
Substituindo $ F $ pela expressão que encontramos:
Aqui, $ \frac{dv}{dx} , dx $ simplifica para $ dv $, então a integral fica:
Passo 5
Resolvendo a integral:
Isso representa a variação da energia cinética $ \Delta KE $, já que a energia cinética é dada por:
Portanto:
Resposta
Assim, mostramos que o trabalho realizado sobre o objeto é igual à variação da sua energia cinética, provando o teorema trabalho-energia.