Seja
um grupo. Dado
, prove que
.
Passo 1
Resumindo: temos um grupo
com operação
e elemento
. Queremos mostrar que o inverso do inverso de
é
mesmo, isto é,
O conteúdo envolve a definição de grupo, identidade, inverso e a unicidade do inverso em um grupo.
Passo 2
Na definição de grupo existe um elemento neutro
tal que, para todo
,
e para cada
existe um inverso
que satisfaz
Além disso, esse inverso é único: não podem existir dois elementos distintos em
que satisfaçam simultaneamente essas duas igualdades para o mesmo
.
Passo 3
Defina
. Por definição de inverso,
é o único elemento que faz
Porém, já sabemos que
logo
também satisfaz as duas condições que caracterizam o inverso de
.
Passo 4
Como o inverso de um elemento é único, a observação de que tanto
quanto
satisfazem
implica que
. Portanto,