Seja G um grupo. Dado a in G, prove que (a^-1)^-1=a.

Passo 1

Resumindo: temos um grupo G com operação cdot e elemento ain G. Queremos mostrar que o inverso do inverso de a é a mesmo, isto é,
l(a^-1r)^-1 = a
O conteúdo envolve a definição de grupo, identidade, inverso e a unicidade do inverso em um grupo.

Passo 2

Na definição de grupo existe um elemento neutro e tal que, para todo xin G,
xcdot e = ecdot x = x,
e para cada xin G existe um inverso x^-1 que satisfaz
xcdot x^-1 = x^-1cdot x = e
Além disso, esse inverso é único: não podem existir dois elementos distintos em G que satisfaçam simultaneamente essas duas igualdades para o mesmo x.

Passo 3

Defina b = l(a^-1r)^-1. Por definição de inverso, b é o único elemento que faz
a^-1cdot b = bcdot a^-1 = e
Porém, já sabemos que
a^-1cdot a = e e acdot a^-1 = e,
logo a também satisfaz as duas condições que caracterizam o inverso de a^-1.

Passo 4

Como o inverso de um elemento é único, a observação de que tanto b quanto a satisfazem
a^-1cdot(,cdot,) = (,cdot,)cdot a^-1 = e
implica que b = a. Portanto,
l(a^-1r)^-1 = a

Resposta

(a^-1)^-1 = a

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