Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral d x(a^2-x^2)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede a integral indefinida
I = integral dxl(a^2-x^2r)^3/2
Usaremos o método de substituição trigonométrica, escolhendo uma substituição que transforme a^2-x^2 numa função simples de theta.

Passo 2

Fazemos a substituição típica para expressões da forma a^2-x^2:
x = asintheta Longrightarrow dx = acostheta,dtheta
Então
a^2-x^2 = a^2-a^2sin^2theta = a^2cos^2theta,
e assim
l(a^2-x^2r)^3/2 =l(a^2cos^2thetar)^3/2 =a^3cos^3theta

Passo 3

Substituindo na integral,
I = integral dxl(a^2-x^2r)^3/2 = integral acostheta,dthetaa^3cos^3theta = 1a^2integral costhetacos^3theta,dtheta = 1a^2integral sec^2theta,dtheta
A integral de sec^2theta é tantheta, logo
I = 1a^2tantheta + C

Passo 4

Retornando à variável x, note que de x=asintheta temos
sintheta = xa, costheta = raiz1-sin^2theta = raiza^2-x^2a,
então
tantheta = sinthetacostheta = x/araiz,a^2-x^2,/a = xraiza^2-x^2
Substituindo em I,
I = 1a^2;xraiza^2-x^2 + C = xa^2raiza^2-x^2 + C

Resposta

boxedI = integral dxl(a^2-x^2r)^3/2 = xa^2raiza^2-x^2 + C

Exercícios relacionados