Resolva cada uma das integrais indefinidas abaixo, pelo método de integração por funções trigonométricas
I=integral x^2 d x(4-x^2)^3 / 2

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral
integral x^2(4 - x^2)^3/2,dx
pelo método de substituição trigonométrica. Vamos usar
x = 2sintheta, dx = 2costheta,dtheta

Passo 2

Substituindo em (4 - x^2)^3/2 temos
4 - x^2 = 4 - 4sin^2theta = 4cos^2theta Rightarrow (4 - x^2)^3/2 = (4cos^2theta)^3/2 = 8cos^3theta
Além disso,
x^2,dx = (2sintheta)^2cdot (2costheta,dtheta) = 8sin^2thetacostheta,dtheta

Passo 3

Substituindo no integrando, obtemos
integral 8sin^2thetacostheta8cos^3theta,dtheta = integral sin^2thetacos^2theta,dtheta = integral tan^2theta,dtheta

Passo 4

Usando a identidade tan^2theta = sec^2theta - 1,
integral tan^2theta,dtheta = integral (sec^2theta - 1),dtheta = tantheta - theta + C

Passo 5

Fazendo a substituição inversa com sintheta = tfracx2, temos
tantheta = sinthetacostheta = xraiz4 - x^2, theta = arcsin!l(tfracx2r)
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integral x^2(4 - x^2)^3/2,dx = xraiz4 - x^2 ;-;arcsin!l(tfracx2r)+C

Resposta

xraiz4 - x^2 - arcsin!l(tfracx2r) + C

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