Mostre que se Aj(j=1,2, cdots, n) são matrizes m times m invertíveis, então a matriz B=A1 A2 cdots An também o é, e determine uma expressão para B^-1.

Passo 1

O enunciado diz que temos matrizes invertíveis A1,A2,dots,An de ordem m e define
B = A1A2cdots An
O que precisamos mostrar é que B também é invertível e achar uma expressão para B^-1. Vamos usar a definição de inversa de matriz (se M é invertível, existe M^-1 tal que M M^-1=I e M^-1M=I) e a associatividade do produto de matrizes.

Passo 2

Como cada Aj é invertível, existe Aj^-1 tal que
AjAj^-1=I e Aj^-1Aj=I
Definimos o candidato a inversa de B por
X = An^-1An-1^-1cdots A1^-1
Vamos verificar que B X = I:
B,X =(A1A2cdots An)(An^-1An-1^-1cdots A1^-1)
usando associatividade e cancelando cada AkAk^-1=I, obtemos
B,X=I

Passo 3

Agora verificamos o produto na outra ordem, X B:
X,B =(An^-1An-1^-1cdots A1^-1)(A1A2cdots An),
e, de novo cancelando cada Ak^-1Ak=I, concluímos
X,B=I
Portanto X é inversa de B tanto pela direita quanto pela esquerda, o que garante que B é invertível e que X=B^-1.

Resposta

B^-1 = An^-1 ,An-1^-1cdots A1^-1

Exercícios relacionados