Mostre que se
são matrizes
invertíveis, então a matriz
também o é, e determine uma expressão para
.
Passo 1
O enunciado diz que temos matrizes invertíveis
de ordem
e define
O que precisamos mostrar é que
também é invertível e achar uma expressão para
. Vamos usar a definição de inversa de matriz (se
é invertível, existe
tal que
e
) e a associatividade do produto de matrizes.
Passo 2
Como cada
é invertível, existe
tal que
Definimos o candidato a inversa de
por
Vamos verificar que
:
usando associatividade e cancelando cada
, obtemos
Passo 3
Agora verificamos o produto na outra ordem,
:
e, de novo cancelando cada
, concluímos
Portanto
é inversa de
tanto pela direita quanto pela esquerda, o que garante que
é invertível e que
.