Mostre que os vetores
são linearmente independentes se, e somente se,
não é combinação linear de
e
não é múltiplo de
e
.
Passo 1
O enunciado pede para demonstrar a equivalência entre “
são linearmente independentes” e as três condições “
”, “
não é múltiplo de
” e “
não é combinação linear de
e
”. O conteúdo usado será a definição de independência linear (nenhuma combinação não trivial dá o vetor zero) e a noção de combinação linear.
Passo 2
Primeiro vamos mostrar que se
são linearmente independentes, então as três condições valem. Suponha que existisse uma combinação não trivial
com algum
. Como são independentes, a única solução é
. Então:\n- Se
, teríamos
não trivial, contra independência. Logo
.\n- Se
, então
não trivial, contra independência. Logo
não é múltiplo de
.\n- Se
, então
não trivial, contra independência. Logo
não é combinação linear de
e
.
Passo 3
Agora vamos mostrar a recíproca: suponha
,
não múltiplo de
e
não combinação de
. Tome qualquer combinação
. Se
, então
, contradizendo a hipótese. Logo
e ficamos com
. Se
, teríamos
, contradizendo que
não é múltiplo de
. Logo
. Por fim,
com
implica
. Assim, a única solução é trivial.
Passo 4
Concluímos que qualquer combinação que dá zero é trivial, e portanto
são linearmente independentes sob as três condições dadas.
Resposta
Os vetores
são linearmente independentes se, e somente se,
,
não é múltiplo de
e
não é combinação linear de
e
.