Mostre que os vetores v1, v2, v3 são linearmente independentes se, e somente se, v3 não é combinação linear de v1 e v2, v2 não é múltiplo de v1 e v1 e ́ neq 0.

Passo 1

O enunciado pede para demonstrar a equivalência entre “ v1,v2,v3 são linearmente independentes” e as três condições “ v1neq0”, “ v2 não é múltiplo de v1” e “ v3 não é combinação linear de v1 e v2”. O conteúdo usado será a definição de independência linear (nenhuma combinação não trivial dá o vetor zero) e a noção de combinação linear.

Passo 2

Primeiro vamos mostrar que se v1,v2,v3 são linearmente independentes, então as três condições valem. Suponha que existisse uma combinação não trivial alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3=0 com algum alphaineq0. Como são independentes, a única solução é alpha1=alpha2=alpha3=0. Então:\n- Se v1=0, teríamos 1cdot v1+0+0=0 não trivial, contra independência. Logo v1neq0.\n- Se v2=lambda v1, então (1),v2+(-lambda),v1+0cdot v3=0 não trivial, contra independência. Logo v2 não é múltiplo de v1.\n- Se v3=mu v1+nu v2, então 0,v1+(-mu),v1+(-nu),v2+1cdot v3=0 não trivial, contra independência. Logo v3 não é combinação linear de v1 e v2.

Passo 3

Agora vamos mostrar a recíproca: suponha v1neq0, v2 não múltiplo de v1 e v3 não combinação de v1,v2. Tome qualquer combinação alpha1v1+alpha2v2+alpha3v3=0. Se alpha3neq0, então v3=-(alpha1/alpha3)v1-(alpha2/alpha3)v2, contradizendo a hipótese. Logo alpha3=0 e ficamos com alpha1v1+alpha2v2=0. Se alpha2neq0, teríamos v2=-(alpha1/alpha2)v1, contradizendo que v2 não é múltiplo de v1. Logo alpha2=0. Por fim, alpha1v1=0 com v1neq0 implica alpha1=0. Assim, a única solução é trivial.

Passo 4

Concluímos que qualquer combinação que dá zero é trivial, e portanto v1,v2,v3 são linearmente independentes sob as três condições dadas.

Resposta

Os vetores v1,v2,v3 são linearmente independentes se, e somente se, v1neq0, v2 não é múltiplo de v1 e v3 não é combinação linear de v1 e v2.

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