Mostre que alpha: C[0,1] R definida por alpha(f)=f(0) é um homomorfismo de anéis.

Passo 1

O exercício pede para mostrar que a aplicação alpha:C[0,1]toR, definida por alpha(f)=f(0), é um homomorfismo de anéis. O conteúdo de anéis que vamos usar é a definição de homomorfismo: uma função entre anéis que preserva soma, produto e envia o elemento unidade para o elemento unidade.

Passo 2

Para verificar que alpha preserva a soma, tomamos duas funções contínuas f,ginC[0,1] e calculamos:
alpha(f+g)=(f+g)(0)=f(0)+g(0)=alpha(f)+alpha(g)
Isso mostra que alpha(f+g)=alpha(f)+alpha(g).

Passo 3

Para ver que alpha preserva o produto, fazemos de modo análogo:
alpha(fcdot g)=(fcdot g)(0)=f(0)cdot g(0)=alpha(f)cdotalpha(g)
Logo alpha(fg)=alpha(f)alpha(g).

Passo 4

Falta verificar o comportamento da identidade multiplicativa. No anel C[0,1] a função unidade é 1(x)=1 para todo x. Então
alpha(1)=1(0)=1,
que é exatamente a unidade em R. Dessa forma a identidade é preservada.

Resposta

Como alpha preserva soma, produto e unidade, concluímos que é um homomorfismo de anéis.

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