Mostre que
definida por
é um homomorfismo de anéis.
Passo 1
O exercício pede para mostrar que a aplicação
, definida por
, é um homomorfismo de anéis. O conteúdo de anéis que vamos usar é a definição de homomorfismo: uma função entre anéis que preserva soma, produto e envia o elemento unidade para o elemento unidade.
Passo 2
Para verificar que
preserva a soma, tomamos duas funções contínuas
e calculamos:
Isso mostra que
.
Passo 3
Para ver que
preserva o produto, fazemos de modo análogo:
Logo
.
Passo 4
Falta verificar o comportamento da identidade multiplicativa. No anel
a função unidade é
para todo
. Então
que é exatamente a unidade em
. Dessa forma a identidade é preservada.
Resposta
Como
preserva soma, produto e unidade, concluímos que é um homomorfismo de anéis.