Mostre que os anéis
e
não são isomorfos. (Lembre-se que os grupos
e
são isomorfos).
Passo 1
A questão quer mostrar que embora haja um isomorfismo de grupos abelianos entre 2ℤ e 3ℤ, não existe isomorfismo de anéis. Vamos precisar usar que qualquer isomorfismo de grupos entre esses subgrupos de ℤ envia 2 em ±3, e depois checar a falha na preservação do produto.
Passo 2
Como grupos abelianos infinitos cíclicos, qualquer isomorfismo φ∶2ℤ→3ℤ é dado por φ(2)=a, onde a gera 3ℤ. Logo a=±3 e, para todo k em ℤ, φ(2k)=k·φ(2)=±3k.
Passo 3
Se φ fosse homomorfismo de anéis, teríamos φ(2·2)=φ(2)·φ(2). O lado esquerdo é φ(4)=φ(2·2)=2·φ(2)=±6, e o direito é (±3)·(±3)=9. Como ±6≠9, dá contradição. Portanto não existe isomorfismo de anéis.
Resposta
Não existe isomorfismo de anéis entre 2ℤ e 3ℤ, pois qualquer isomorfismo de grupos falha em preservar o produto.