Mostre que os anéis 2 Z e 3 Z não são isomorfos. (Lembre-se que os grupos 2 Z e 3 Z são isomorfos).

Passo 1

A questão quer mostrar que embora haja um isomorfismo de grupos abelianos entre 2ℤ e 3ℤ, não existe isomorfismo de anéis. Vamos precisar usar que qualquer isomorfismo de grupos entre esses subgrupos de ℤ envia 2 em ±3, e depois checar a falha na preservação do produto.

Passo 2

Como grupos abelianos infinitos cíclicos, qualquer isomorfismo φ∶2ℤ→3ℤ é dado por φ(2)=a, onde a gera 3ℤ. Logo a=±3 e, para todo k em ℤ, φ(2k)=k·φ(2)=±3k.

Passo 3

Se φ fosse homomorfismo de anéis, teríamos φ(2·2)=φ(2)·φ(2). O lado esquerdo é φ(4)=φ(2·2)=2·φ(2)=±6, e o direito é (±3)·(±3)=9. Como ±6≠9, dá contradição. Portanto não existe isomorfismo de anéis.

Resposta

Não existe isomorfismo de anéis entre 2ℤ e 3ℤ, pois qualquer isomorfismo de grupos falha em preservar o produto.

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