Passar a equação r^2 sen 2 theta=2 z^2 do sistema cilíndrico para o sistema cartesiano.

Passo 1

A equação em coordenadas cilíndricas é r^2,sen 2theta = 2z^2. Vamos converter para o sistema cartesiano usando as relações entre (r,theta,z) e (x,y,z).

Passo 2

Em cilindricas, sen 2theta pode ser expressa como o dobro do produto de sentheta por costheta. Logo,
sen 2theta = 2senthetacostheta

Passo 3

Sabendo que sentheta = yr e costheta = xr, substituímos na expressão anterior:
sen 2theta = 2yrxr = 2xyr^2

Passo 4

Agora voltamos à equação original e substituímos r^2 por x^2+y^2 e sen 2theta por 2xy/r^2:
r^2cdot2xyr^2 = 2z^2

Passo 5

No lado esquerdo, r^2 cancela, sobrando
2xy = 2z^2

Passo 6

Dividindo ambos os lados por 2, obtemos a equação no sistema cartesiano:
xy = z^2

Resposta

xy = z^2

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