Sendo E=(e1, e2, e3) e F=(f1, f2, f3) bases de V^3, onde:
l f1=2 e1-e2 f2=e2+2 e3 f3=7 e3
Se W=(1,1,1)E, ache as coordenadas de w em relação à base F.

Passo 1

Dado que temos as bases E=(e1,e2,e3) e F=(f1,f2,f3) em V^3, com as relações dadas entre fi e ej, queremos encontrar as coordenadas de vec w=(1,1,1)E na base F. Esse é um problema clássico de mudança de base.

Passo 2

Escrevemos primeiro vec w na base E:
vec w = 1cdot e1 + 1cdot e2 + 1cdot e3

Passo 3

Supondo que vec w = a,f1 + b,f2 + c,f3, substituímos as expressões de fi em termos de ej:
f1 = 2e1 - e2, f2 = e2 + 2e3, f3 = 7e3
Logo,
af1 + bf2 + cf3 = 2a,e1 + (-a + b),e2 + (2b + 7c),e3

Passo 4

Igualando isso a vec w = e1 + e2 + e3, montamos o sistema para os coeficientes de e1,e2,e3:
2a = 1, -a + b = 1, 2b + 7c = 1

Passo 5

Resolvendo o sistema obtemos:
a = tfrac12, b = tfrac32, c = -tfrac27

Resposta

(tfrac12,,tfrac32,,-tfrac27)F

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