QUESTÃO 4: Seja a>0. Considere a sequência (an) definida pela relação de recorrência
a1=2 a, an+1=12(an+a), para todo n in N
(a) Mostre, pelo Princípio de Indução Matemática, que a sequência (an) é decrescente, ou seja, que an+1<an para todo n in N.
(b) Mostre, pelo Princípio de Indução Matemática, que a<an <= 2 a, para todo n in N.
(c) Conclua, a partir dos itens anteriores, que (an) é convergente e determine seu limite.

Passo 1

Beleza, o exercício é o seguinte: temos uma sequência (an) com a>0,
a1=2a, an+1=tfrac12l(an+ar)
Ele pede:
  1. Mostrar por indução que an+1<an (ou seja, é decrescente).
  2. Mostrar por indução que a<an<=2a para todo n.
  3. Concluir que a sequência converge e achar o limite.
Conteúdo envolvido:
  • Princípio de indução matemática
  • Definição de sequência monotônica (decrescente)
  • Sequência limitada
  • Teorema: “sequência monotônica e limitada converge”
  • Cálculo de limite via “ponto fixo” da recorrência

Passo 2

Parte (a) – Indução para provar an+1<an.
  1. Base ( n=1):
a1=2a, a2=tfrac12(2a+a)=tfrac32a
Como a>0, tfrac32a<2a. Logo a2<a1.
2) Passo indutivo: suponha an+1<an.
Considere
an+2-an+1 =tfrac12l(an+1+ar) -tfrac12l(an+ar) =tfrac12,(an+1-an)
Pela hipótese indutiva an+1-an<0, então an+2-an+1<0, ou seja an+2<an+1.
Isso fecha a indução e mostra que para todo n, an+1<an.

Passo 3

Parte (b) – Indução para provar a<an<=2a.
  1. Base ( n=1):
a1=2a,
então a<2a (porque a>0) e também 2a<=2a. OK.
2) Indução: suponha que para um certo n valha
a < an <= 2a
Então
an+1 =tfrac12l(an+ar)
Para a desigualdade de baixo:
an+a > a+a = 2a Longrightarrow an+1=tfrac12(an+a)>a
Para a desigualdade de cima:
an+a <= 2a + a = 3a Longrightarrow an+1 <= tfrac12cdot 3a = tfrac32a <= 2a,
já que a>0.
Assim a< an+1<=2a, fechando a indução.

Passo 4

Parte (c) – Convergência e limite.
Já sabemos que (an) é decrescente (Passo 2) e que é limitada inferiormente por a (Passo 3).
Pelo Teorema de Convergência de Sequências Monótonas, toda sequência decrescente e limitada abaixo converge.
Seja ell=limntoinftyan. Tomando limite na relação
an+1=tfrac12l(an+ar)
ell=tfrac12(ell + a) Longrightarrow 2ell=ell+a Longrightarrow ell=a

Resposta

A sequência (an) converge e
limntoinftyan = a

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