QUESTÃO 4: Seja
. Considere a sequência
definida pela relação de recorrência
(a) Mostre, pelo Princípio de Indução Matemática, que a sequência
é decrescente, ou seja, que
para todo
.
(b) Mostre, pelo Princípio de Indução Matemática, que
, para todo
.
(c) Conclua, a partir dos itens anteriores, que
é convergente e determine seu limite.
(b) Mostre, pelo Princípio de Indução Matemática, que
(c) Conclua, a partir dos itens anteriores, que
Passo 1
Beleza, o exercício é o seguinte: temos uma sequência
com
,
Ele pede:
- Mostrar por indução que
(ou seja, é decrescente). - Mostrar por indução que
para todo . - Concluir que a sequência converge e achar o limite.
Conteúdo envolvido:
- Princípio de indução matemática
- Definição de sequência monotônica (decrescente)
- Sequência limitada
- Teorema: “sequência monotônica e limitada converge”
- Cálculo de limite via “ponto fixo” da recorrência
Passo 2
Parte (a) – Indução para provar
.
- Base (
):
Como
,
. Logo
.
2) Passo indutivo: suponha .
Considere
2) Passo indutivo: suponha
Considere
Pela hipótese indutiva
, então
, ou seja
.
Isso fecha a indução e mostra que para todo ,
.
Isso fecha a indução e mostra que para todo
Passo 3
Parte (b) – Indução para provar
.
- Base (
):
então
(porque
) e também
. OK.
2) Indução: suponha que para um certo valha
2) Indução: suponha que para um certo
Então
Para a desigualdade de baixo:
Para a desigualdade de cima:
já que
.
Assim , fechando a indução.
Assim
Passo 4
Parte (c) – Convergência e limite.
Já sabemos que é decrescente (Passo 2) e que é limitada inferiormente por
(Passo 3).
Pelo Teorema de Convergência de Sequências Monótonas, toda sequência decrescente e limitada abaixo converge.
Seja . Tomando limite na relação
Já sabemos que
Pelo Teorema de Convergência de Sequências Monótonas, toda sequência decrescente e limitada abaixo converge.
Seja
dá
Resposta
A sequência
converge e