Mostre que o anel comutativo D é um domínio de integridade se, e somente se, para a, b, c in D com a neq 0 a relação a b=a c implica que b=c.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num anel comutativo D, valer a propriedade de cancelamento
para todos a,b,cin D com aneq0 e
a b = a c
implicar b=c é equivalente a dizer que D é um domínio de integridade (isto é, não tem divisores de zero).

Passo 2

Suponha que D seja um domínio de integridade. Então, por definição, D não tem divisores de zero, isto é,
x y = 0 Longrightarrow x=0 ou y=0
para quaisquer x,yin D. Agora, dada a hipótese a b=a c com aneq0, subtraindo a c de ambos os lados, obtemos
a b - a c = 0 Longrightarrow a,(b-c)=0
Como aneq0 e não há divisores de zero, obrigatoriamente b-c=0, ou seja, b=c. Assim, a propriedade de cancelamento vale em D.

Passo 3

Suponha agora que em D valha o cancelamento: para todo aneq0 e todos b,c,
a b = a c Longrightarrow b=c
Queremos mostrar que D não tem divisores de zero. De fato, se x,yin D e
x y =0
com xneq0, então podemos ver isso como
x y = xcdot 0
Pelo cancelamento (já que xneq0), segue y=0. Portanto não existem elementos não nulos cujo produto seja zero, e logo D é um domínio de integridade.

Resposta

Mostramos que
  • se D é domínio de integridade, então vale o cancelamento;
  • se vale o cancelamento em D, então D não tem divisores de zero, logo é domínio de integridade.
    Assim, D é domínio de integridade se, e somente se, para a,b,cin D com aneq0 a relação a b=a c implica b=c.

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