Mostre que o anel comutativo
é um domínio de integridade se, e somente se, para
com
a relação
implica que
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num anel comutativo
, valer a propriedade de cancelamento
para todos com
e
para todos
implicar
é equivalente a dizer que
é um domínio de integridade (isto é, não tem divisores de zero).
Passo 2
Suponha que
seja um domínio de integridade. Então, por definição,
não tem divisores de zero, isto é,
para quaisquer
. Agora, dada a hipótese
com
, subtraindo
de ambos os lados, obtemos
Como
e não há divisores de zero, obrigatoriamente
, ou seja,
. Assim, a propriedade de cancelamento vale em
.
Passo 3
Suponha agora que em
valha o cancelamento: para todo
e todos
,
Queremos mostrar que
não tem divisores de zero. De fato, se
e
com
, então podemos ver isso como
Pelo cancelamento (já que
), segue
. Portanto não existem elementos não nulos cujo produto seja zero, e logo
é um domínio de integridade.
Resposta
Mostramos que
- se
é domínio de integridade, então vale o cancelamento; - se vale o cancelamento em
, então não tem divisores de zero, logo é domínio de integridade.
Assim,é domínio de integridade se, e somente se, para com a relação implica .