Prove que qualquer corpo é um domínio de integridade.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que todo corpo é um domínio de integridade.
Conteúdo envolvido: teoria de anéis comutativos.
– Definição de corpo: anel comutativo com unidade em que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo.
– Definição de domínio de integridade: anel comutativo com unidade que não possui divisores de zero (isto é, se a b=0 então a=0 ou b=0).

Passo 2

Relembramos as definições formais:
– Um corpo F é um anel comutativo com unidade 1neq0 tal que, para todo ain F com aneq0, existe a^-1in F satisfazendo
acdot a^-1=1
– Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade que não admite divisores de zero, isto é, não existem a,bneq0 tais que
acdot b=0

Passo 3

Seja F um corpo. Tomemos quaisquer a,bin F tais que
acdot b=0
Queremos mostrar que a=0 ou b=0.

Passo 4

Se a=0 estamos done. Caso aneq0, pelo fato de F ser corpo existe o inverso multiplicativo a^-1. Multiplicando a igualdade a b=0 pela esquerda por a^-1, obtemos
a^-1,(a;b) ;=;a^-1,0 Longrightarrow l(a^-1ar),b=0 Longrightarrow 1cdot b=0 Longrightarrow b=0
Logo, sempre que a b=0 em F temos a=0 ou b=0.

Resposta

Qualquer corpo é um domínio de integridade.

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