Prove que qualquer corpo é um domínio de integridade.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que todo corpo é um domínio de integridade.
Conteúdo envolvido: teoria de anéis comutativos.
– Definição de corpo: anel comutativo com unidade em que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo.
– Definição de domínio de integridade: anel comutativo com unidade que não possui divisores de zero (isto é, se então
ou
).
Conteúdo envolvido: teoria de anéis comutativos.
– Definição de corpo: anel comutativo com unidade em que todo elemento não-nulo tem inverso multiplicativo.
– Definição de domínio de integridade: anel comutativo com unidade que não possui divisores de zero (isto é, se
Passo 2
Relembramos as definições formais:
– Um corpo é um anel comutativo com unidade
tal que, para todo
com
, existe
satisfazendo
– Um corpo
– Um domínio de integridade é um anel comutativo com unidade que não admite divisores de zero, isto é, não existem
tais que
Passo 3
Seja
um corpo. Tomemos quaisquer
tais que
Queremos mostrar que
ou
.
Passo 4
Se
estamos done. Caso
, pelo fato de
ser corpo existe o inverso multiplicativo
. Multiplicando a igualdade
pela esquerda por
, obtemos
Logo, sempre que
em
temos
ou
.
Resposta
Qualquer corpo é um domínio de integridade.