Seja
um grupo e
. Defina uma função
por
. Prove que
define um automorfismo de
.
Passo 1
O enunciado trata de teoria de grupos: pede para mostrar que a aplicação de conjugação por um elemento
,
é um automorfismo de
. Ou seja, precisamos mostrar que
é um homomorfismo de grupos e que é bijetora.
Passo 2
Verificamos que
preserva o produto em
. Para quaisquer
,
Isso prova que
é um homomorfismo de grupos.
Passo 3
Mostramos que
é bijetora construindo explicitamente sua inversa. Considere a aplicação
Então, para todo
,
e analogamente
. Logo
é de fato a inversa de
, e
é bijetora.
Passo 4
Como
é ao mesmo tempo homomorfismo e bijetora, concluímos que é um automorfismo de
.
Resposta
A aplicação
é um automorfismo de
, isto é,
.