Seja G um grupo e g in G. Defina uma função ig: G G por ig(x)=g x g^-1. Prove que ig define um automorfismo de G.

Passo 1

O enunciado trata de teoria de grupos: pede para mostrar que a aplicação de conjugação por um elemento gin G,
igcolon Gto G, ig(x)=g,x,g^-1,
é um automorfismo de G. Ou seja, precisamos mostrar que ig é um homomorfismo de grupos e que é bijetora.

Passo 2

Verificamos que ig preserva o produto em G. Para quaisquer x,yin G,
ig(xy) = g,(xy),g^-1 = (g,x,g^-1),(g,y,g^-1) = ig(x),ig(y)
Isso prova que ig é um homomorfismo de grupos.

Passo 3

Mostramos que ig é bijetora construindo explicitamente sua inversa. Considere a aplicação
ig^-1colon Gto G, ig^-1(x)=g^-1,x,g
Então, para todo xin G,
(igcirc ig^-1)(x) = igl(g^-1xgr) = g,(g^-1xg),g^-1 = x
e analogamente (ig^-1circ ig)(x)=x. Logo ig^-1 é de fato a inversa de ig, e ig é bijetora.

Passo 4

Como ig é ao mesmo tempo homomorfismo e bijetora, concluímos que é um automorfismo de G.

Resposta

A aplicação ig(x)=g,x,g^-1 é um automorfismo de G, isto é, iginAut(G).

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