Seja T: \mathbb{R}^{4} \rightarrow \mathbb{R}^{3} definido por
T\left(x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}\right)=\left(x_{1}+x_{2}, x_{2}+x_{3}, x_{3}+x_{4}\right)
(a) Encontre uma base para o núcleo.
(b) Encontre uma base para a imagem.
(c) Verifique o Teorema da Dimensão (posto-nulidade, ou núcleo-imagem).

Passo 1

O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2,\;x_2+x_3,\;x_3+x_4).
Vamos determinar uma base do núcleo \ker(T), uma base da imagem \operatorname{Im}(T) e verificar o Teorema da Dimensão: \dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=4.

Passo 2

Para achar \ker(T)\) resolvemos \[T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,0),
isto é, o sistema
\begin{cases} x_1 + x_2 =0,\\\ x_2 + x_3 =0,\\\ x_3 + x_4 =0. \end{cases}
Da primeira equação x_1=-x_2\]. Da segunda \(x_3=-x_2. Da terceira x_4=-x_3=x_2. Logo
(x_1,x_2,x_3,x_4)=(-x_2,\;x_2,\;-x_2,\;x_2)=x_2\,(-1,1,-1,1).
Portanto \ker(T)=\mathrm{span}\{(-1,1,-1,1)\}.

Passo 3

Para a imagem, note que
T(e_1)=(1,0,0),\quad T(e_2)=(1,1,0),\quad T(e_3)=(0,1,1),\quad T(e_4)=(0,0,1),
onde e_i são os vetores canônicos de \mathbb{R}^4. Assim
\operatorname{Im}(T) =\mathrm{span}\bigl\{(1,0,0),\,(1,1,0),\,(0,1,1)\bigr\}.
Para ver que esses três vetores são independentes, suponha
\alpha(1,0,0)+\beta(1,1,0)+\gamma(0,1,1)=(0,0,0).
Isso leva a \gamma=0, \beta=0 e \alpha=0. Logo \dim(\operatorname{Im}(T))=3.

Passo 4

Como \dim(\ker(T))=1 e \dim(\operatorname{Im}(T))=3, temos
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=1+3=4,
que coincide com \dim(\mathbb{R}^4)=4. Assim o Teorema da Dimensão está verificado.

Resposta

(a) Uma base de \ker(T) é \{(-1,1,-1,1)\}.
(b) Uma base de \operatorname{Im}(T) é \{(1,0,0),\,(1,1,0),\,(0,1,1)\}.
(c) \dim(\ker(T))=1, \dim(\operatorname{Im}(T))=3 e 1+3=4.

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