(a) Encontre uma base para o núcleo.
(b) Encontre uma base para a imagem.
(c) Verifique o Teorema da Dimensão (posto-nulidade, ou núcleo-imagem).
Passo 1
O enunciado define a transformação linear T\colon \mathbb{R}^4\to\mathbb{R}^3 dada por
T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(x_1+x_2,\;x_2+x_3,\;x_3+x_4).
Vamos determinar uma base do núcleo \ker(T), uma base da imagem \operatorname{Im}(T) e verificar o Teorema da Dimensão: \dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=4.
Passo 2
Para achar \ker(T)\) resolvemos
\[T(x_1,x_2,x_3,x_4)=(0,0,0),
Para ver que esses três vetores são independentes, suponha
\alpha(1,0,0)+\beta(1,1,0)+\gamma(0,1,1)=(0,0,0).
Isso leva a \gamma=0, \beta=0 e \alpha=0. Logo \dim(\operatorname{Im}(T))=3.
Passo 4
Como \dim(\ker(T))=1 e \dim(\operatorname{Im}(T))=3, temos
\dim(\ker(T))+\dim(\operatorname{Im}(T))=1+3=4,
que coincide com \dim(\mathbb{R}^4)=4. Assim o Teorema da Dimensão está verificado.
Resposta
(a) Uma base de \ker(T) é \{(-1,1,-1,1)\}.
(b) Uma base de \operatorname{Im}(T) é \{(1,0,0),\,(1,1,0),\,(0,1,1)\}.
(c) \dim(\ker(T))=1, \dim(\operatorname{Im}(T))=3 e 1+3=4.