Mostre, apresentando todos os detalhes dos seus cálculos e argumentos, que a série sumn=1^infty 1n^p é:
convergente, se p>1
Esta série é chamada de série p e é importante que você a conheça!

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a série sumn=1^infty 1n^p converge quando p > 1. Isso faz parte do estudo de séries infinitas, que é um tópico importante em cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de certas séries.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergente. Uma série sumn=1^infty an é convergente se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando somamos infinitamente. No nosso caso, os termos da série são an = 1n^p.

Passo 3

Agora, vamos falar sobre o Teste da Integral. Esse teste diz que se f(x) é uma função contínua, positiva e decrescente para x >= N (onde N é um número natural), então a série sumn=N^infty f(n) e a integral integralN^infty f(x) , dx convergem ou divergem juntas. Ou seja, se a integral converge, a série também converge, e vice-versa.

Passo 4

Aplicando o Teste da Integral à nossa série, vamos considerar a função f(x) = 1x^p. Essa função é contínua, positiva e decrescente para x >= 1 quando p > 0. Então, podemos comparar a série sumn=1^infty 1n^p com a integral integral1^infty 1x^p , dx.

Passo 5

Vamos calcular a integral integral1^infty 1x^p , dx:
integral1^infty 1x^p , dx = limt to infty integral1^t x^-p , dx
Integrando, temos:
integral x^-p , dx = x^-p + 1-p + 1 + C
Então,
limt to infty [ t^-p + 1-p + 1 - 1^-p + 1-p + 1 ]
Agora, analisando o limite:
  • Se -p + 1 < 0 (ou seja, p > 1), então t^-p + 1 tende a zero quando t vai para o infinito. Assim, a integral converge para 1p - 1.
  • Se p <= 1, a integral não converge.

Resposta

Portanto, pela aplicação do Teste da Integral, concluímos que a série sumn=1^infty 1n^p converge se e somente se p > 1.

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