Mostre, apresentando todos os detalhes dos seus cálculos e argumentos, que a série
é:
convergente, se
Esta série é chamada de série p e é importante que você a conheça!
convergente, se
Esta série é chamada de série p e é importante que você a conheça!
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa mostrar que a série
converge quando
. Isso faz parte do estudo de séries infinitas, que é um tópico importante em cálculo. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Integral, que nos ajuda a determinar a convergência de certas séries.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa uma série convergente. Uma série
é convergente se a soma dos seus termos tende a um valor finito quando somamos infinitamente. No nosso caso, os termos da série são
.
Passo 3
Agora, vamos falar sobre o Teste da Integral. Esse teste diz que se
é uma função contínua, positiva e decrescente para
(onde
é um número natural), então a série
e a integral
convergem ou divergem juntas. Ou seja, se a integral converge, a série também converge, e vice-versa.
Passo 4
Aplicando o Teste da Integral à nossa série, vamos considerar a função
. Essa função é contínua, positiva e decrescente para
quando
. Então, podemos comparar a série
com a integral
.
Passo 5
Vamos calcular a integral
:
Integrando, temos:
Então,
Agora, analisando o limite:
- Se
(ou seja, ), então tende a zero quando vai para o infinito. Assim, a integral converge para . - Se
, a integral não converge.
Resposta
Portanto, pela aplicação do Teste da Integral, concluímos que a série
converge se e somente se
.