Ouestão 01: (1,0)
Seja,
Nota Final =
I=integral1^3 x^3 ln (x) d x
Calcule uma aproximação para I usando a Regra de Trapézios Repetida, com 4 intervalos;

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! O que a gente tem aqui é um cálculo de integral definida usando a Regra de Trapézios Repetida. A gente vai precisar entender como essa regra funciona para aproximar o valor da integral
I = integral1^3 x^3 ln (x) , dx
Vamos dividir a resolução em passos para facilitar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os limites de integração e quantos intervalos vamos usar. Aqui, o intervalo vai de a = 1 até b = 3 , e vamos dividir esse intervalo em n = 4 subintervalos iguais.

Passo 3

Agora, vamos calcular o tamanho de cada subintervalo, que chamamos de h . A fórmula para h é:
h = b - an
Substituindo os valores:
h = 3 - 14 = 24 = 0,5
Então, cada subintervalo tem largura de 0,5 .

Passo 4

Com o tamanho do subintervalo conhecido, vamos determinar os pontos x que dividem o intervalo [1, 3] em 4 partes iguais:
x0 = 1, x1 = 1 + 0,5 = 1,5
x2 = 1,5 + 0,5 = 2,0, x3 = 2,0 + 0,5 = 2,5
x4 = 2,5 + 0,5 = 3,0
Então, os pontos são x = 1, 1,5, 2,0, 2,5, 3,0 .

Passo 5

Vamos calcular o valor da função f(x) = x^3 ln(x) em cada um desses pontos:
f(1) = 1^3 ln(1) = 1 times 0 = 0
f(1,5) = (1,5)^3 ln(1,5)
f(2,0) = (2,0)^3 ln(2,0)
f(2,5) = (2,5)^3 ln(2,5)
f(3) = 3^3 ln(3) = 27 times ln(3)
Para facilitar, vamos calcular esses valores numericamente:
f(1,5) approx 3,375 times 0,4055 approx 1,367
f(2,0) approx 8 times 0,6931 approx 5,545
f(2,5) approx 15,625 times 0,9163 approx 14,327
f(3) approx 27 times 1,0986 approx 29,662

Passo 6

Agora, vamos aplicar a Regra de Trapézios Repetida, que é dada por:
I approx h2 [ f(x0) + 2 sumi=1^n-1 f(xi) + f(xn) ]
Isso significa que a gente vai somar o primeiro e o último valor da função, multiplicar os valores intermediários por 2, somar tudo e multiplicar por h2 .

Passo 7

Vamos substituir os valores que já calculamos:
I approx 0,52 [ 0 + 2(1,367 + 5,545 + 14,327) + 29,662 ]
Primeiro, somamos os valores intermediários multiplicados por 2:
2(1,367 + 5,545 + 14,327) = 2(21,239) = 42,478
Agora, somamos tudo dentro do colchete:
0 + 42,478 + 29,662 = 72,140
Multiplicando por 0,52 = 0,25 :
I approx 0,25 times 72,140 = 18,035

Resposta

Aproximando a integral I = integral1^3 x^3 ln (x) , dx usando a Regra de Trapézios Repetida com 4 intervalos, obtemos:
I approx 18,04

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