Ouestão 01: (1,0)
Seja,
Nota Final =
I=integral1^3 x^3 ln (x) d x
Calcule uma aproximação para I usando a Regra de Simpson Repetida (Composta), com 4 intervalos.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para calcular uma aproximação da integral I = integral1^3 x^3 ln(x) , dx usando a Regra de Simpson Repetida com 4 intervalos. Aqui, vamos usar conceitos de cálculo numérico, especificamente a Regra de Simpson, para estimar o valor da integral.

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar os limites de integração e o número de intervalos. Temos a = 1 e b = 3 , e vamos dividir esse intervalo em n = 4 partes iguais.

Passo 3

Calculamos o tamanho de cada intervalo, que chamamos de h . A fórmula para h é:
h = b - an = 3 - 14 = 24 = 0.5

Passo 4

Agora, determinamos os pontos onde vamos avaliar a função. Esses pontos são chamados de nós e são calculados como:
xi = a + i cdot h para i = 0, 1, 2, 3, 4
Então:
x0 = 1.0, x1 = 1.5, x2 = 2.0, x3 = 2.5, x4 = 3.0

Passo 5

Em seguida, avaliamos a função f(x) = x^3 ln(x) em cada um desses pontos:
f(x0) &= 1^3 ln(1) = 0 f(x1) &= (1.5)^3 ln(1.5) approx 3.375 times 0.4055 approx 1.368 f(x2) &= 2^3 ln(2) approx 8 times 0.6931 approx 5.545 f(x3) &= (2.5)^3 ln(2.5) approx 15.625 times 0.9163 approx 14.295 f(x4) &= 3^3 ln(3) approx 27 times 1.0986 approx 29.662

Passo 6

Aplicamos a Regra de Simpson Composta, que é dada por:
I approx h3 [ f(x0) + 4f(x1) + 2f(x2) + 4f(x3) + f(x4) ]
Substituindo os valores:
I approx 0.53 [ 0 + 4(1.368) + 2(5.545) + 4(14.295) + 29.662 ]

Passo 7

Calculamos dentro dos colchetes primeiro:
0 + 4(1.368) = 5.472 2(5.545) = 11.09 4(14.295) = 57.18 Somando tudo: 5.472 + 11.09 + 57.18 + 29.662 = 103.404

Passo 8

Agora, multiplicamos pelo h3 :
I approx 0.53 times 103.404 approx 0.1667 times 103.404 approx 17.234

Resposta

A aproximação da integral I usando a Regra de Simpson Repetida com 4 intervalos é aproximadamente 17.23 .

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