Resolva:
x y(x) y^prime(x)=y^2(x)+2 x

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial de primeira ordem
x,y(x),y'(x)=y^2(x)+2x
Aqui vamos usar a substituição u=y^2 para transformar essa equação não-linear numa equação linear em u(x).

Passo 2

Primeiro note que
ddxl(y^2r)=2y,y'
Multiplicando a equação dada por 2, obtemos
2x,y,y'=2y^2+4x,
ou seja,
x;ddx(y^2)=2,y^2+4x
Agora definimos u(x)=y^2(x), de modo que a equação vira
x,dudx=2u+4x

Passo 3

Reescrevendo em forma padrão de equação linear:
dudx-2x,u=4
Aqui o coeficiente de u é -2/x e o termo independente é 4.

Passo 4

O fator integrante é
mu(x)=exp!l(integral -tfrac2x,dxr)=x^-2
Multiplicando a equação por x^-2 temos
x^-2dudx-2x^-3u = 4x^-2,
que é
ddxl(u,x^-2r)=4x^-2
Integrando em x:
u,x^-2=integral 4x^-2,dx = -4x+C,
onde C é constante arbitrária.

Passo 5

Voltando a u=y^2, temos
y^2=C,x^2-4x
Portanto a solução geral da equação diferencial é
y(x)=pmraizC,x^2-4x,
com C constante arbitrária.

Resposta

y(x)=pmraizC,x^2-4x, CinR

Exercícios relacionados