Mostre, apresentando todos os detalhes dos seus cálculos e argumentos, que a série sumn=1^infty 1n^p é divergente, se p <= 1.
Esta série é chamada de série p e é importante que você a conheça!

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a série sumn=1^infty 1n^p diverge quando o valor de p é menor ou igual a 1. Essa série é conhecida como série p e faz parte do estudo de séries infinitas na matemática. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Harmônica e comparar com o comportamento da integral de funções semelhantes.

Passo 2

Vamos considerar o caso quando p = 1 . A série se torna a série harmônica:
sumn=1^infty 1n
Sabemos que a série harmônica é conhecida por ser divergente. Isso significa que, à medida que somamos mais e mais termos, a soma total cresce sem limites.

Passo 3

Agora, vamos analisar o caso geral onde p < 1 . Observe que, se p < 1 , então n^p cresce mais lentamente que n . Isso implica que 1n^p é maior que 1n para todo n >= 1 .
1n^p > 1n para todo n >= 1 e p < 1

Passo 4

Já que sabemos que a série harmônica sumn=1^infty 1n diverge, e 1n^p é maior que 1n , podemos concluir pela Comparação Direta que a série sumn=1^infty 1n^p também diverge quando p <= 1 .

Passo 5

Outra maneira de ver isso é utilizando o Teste da Integral. Consideramos a função f(x) = 1x^p e avaliamos a integral de 1 até o infinito:
integral1^infty 1x^p dx
Quando p <= 1 , essa integral é divergente, o que confirma que a série sumn=1^infty 1n^p também diverge.

Resposta

Portanto, mostramos passo a passo que a série sumn=1^infty 1n^p é divergente para todo p <= 1 .

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