Mostre, apresentando todos os detalhes dos seus cálculos e argumentos, que a série
é divergente, se
.
Esta série é chamada de série p e é importante que você a conheça!
Esta série é chamada de série p e é importante que você a conheça!
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos mostrar que a série
diverge quando o valor de
é menor ou igual a 1. Essa série é conhecida como série p e faz parte do estudo de séries infinitas na matemática. Para resolver isso, vamos usar o Teste da Série Harmônica e comparar com o comportamento da integral de funções semelhantes.
Passo 2
Vamos considerar o caso quando
. A série se torna a série harmônica:
Sabemos que a série harmônica é conhecida por ser divergente. Isso significa que, à medida que somamos mais e mais termos, a soma total cresce sem limites.
Passo 3
Agora, vamos analisar o caso geral onde
. Observe que, se
, então
cresce mais lentamente que
. Isso implica que
é maior que
para todo
.
Passo 4
Já que sabemos que a série harmônica
diverge, e
é maior que
, podemos concluir pela Comparação Direta que a série
também diverge quando
.
Passo 5
Outra maneira de ver isso é utilizando o Teste da Integral. Consideramos a função
e avaliamos a integral de 1 até o infinito:
Quando
, essa integral é divergente, o que confirma que a série
também diverge.
Resposta
Portanto, mostramos passo a passo que a série
é divergente para todo
.