Mostre que a equação linear y^prime+p(t) y=q(t) é equivalente a uma equação separável se
p(t)=q(t);

Passo 1

O enunciado trata da equação linear de primeira ordem
y'+p(t),y=q(t)
e quer mostrar que, se p(t)=q(t), essa equação se transforma numa equação de variáveis separáveis.

Passo 2

Substituindo q(t)=p(t) na equação original, obtemos
y' + p(t),y = p(t)
Passando o termo p(t),y para o lado direito, fica
y' = p(t) - p(t),y = p(t)l(1 - yr)

Passo 3

Escrevemos y'=dfracdydt e separamos as variáveis y e t:
dydt = p(t),l(1 - yr) Longrightarrow dy1 - y = p(t),dt
Assim manifestamos que a equação é separável em y e t.

Passo 4

Para completar, aplicamos integração em cada membro:
integral dy1 - y = integral p(t),dt Longrightarrow -lnl|1 - yr| = integral p(t),dt + C
Desse modo vemos que a equação linear, sob p(t)=q(t), é equivalente a uma equação separável.

Resposta

A substituição p(t)=q(t) leva a
dy1 - y = p(t),dt,
mostrando que a equação se torna separável.

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