Uma partícula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição x é dada por x=cos (3 t), t >= 0, em que x é dado em metros e t em segundos.
Esboce o gráfico da função posição.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula se movendo ao longo do eixo x com a posição dada por x = cos(3t) , onde x está em metros e t em segundos. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função posição. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente a função cosseno, e como ela se comporta no tempo.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno, cos(theta) , gera uma onda periódica que oscila entre -1 e 1. No nosso caso, a função é cos(3t) . O número que está multiplicando o t dentro do cosseno afeta a “velocidade” com que a função oscila. Esse número é chamado de frequência angular.

Passo 3

Vamos calcular o período da função, que é o tempo que leva para uma completa oscilação da função cosseno. A fórmula para o período T de uma função cos(bt) é:
T = 2pib
Aqui, b = 3 , então:
T = 2pi3
Isso significa que a função completa uma oscilação completa a cada 2pi3 segundos.

Passo 4

Agora, vamos identificar os pontos-chave para desenhar o gráfico. Vamos observar alguns valores de t e calcular x :
  • Quando t = 0 :
x = cos(0) = 1
  • Quando t = T4 = pi6 :
x = cos(3 times pi6) = cos(pi2) = 0
  • Quando t = T2 = pi3 :
x = cos(3 times pi3) = cos(pi) = -1
  • Quando t = 3T4 = pi2 :
x = cos(3 times pi2) = cos(3pi2) = 0
  • Quando t = T = 2pi3 :
x = cos(2pi) = 1

Passo 5

Com esses pontos, podemos começar a esboçar o gráfico:
  1. No início, em t = 0 , a posição está em x = 1 .
  2. Em t = pi6 , a posição passa por x = 0 .
  3. Em t = pi3 , a posição atinge x = -1 (o ponto mais baixo).
  4. Em t = pi2 , a posição volta para x = 0 .
  5. Finalmente, em t = 2pi3 , a posição retorna a x = 1 , completando uma oscilação.
Replicando esse padrão para outros períodos, teremos uma onda senoidal que oscila entre -1 e 1 com período 2pi3 segundos.

Resposta

O gráfico da função posição x = cos(3t) é uma onda senoidal que oscila entre -1 e 1 metros, com um período de 2pi3 segundos. Ela começa em x = 1 quando t = 0 , passa por x = 0 em t = pi6 , atinge x = -1 em t = pi3 , volta para x = 0 em t = pi2 e retorna a x = 1 em t = 2pi3 , repetindo esse padrão continuamente.

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