Uma partícula move-se sobre o eixo
de modo que no instante
a posição
é dada por
, em que
é dado em metros e
em segundos.
Esboce o gráfico da função posição.
Esboce o gráfico da função posição.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado diz que temos uma partícula se movendo ao longo do eixo
com a posição dada por
, onde
está em metros e
em segundos. Nosso objetivo aqui é esboçar o gráfico dessa função posição. Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre funções trigonométricas, especialmente a função cosseno, e como ela se comporta no tempo.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que a função cosseno,
, gera uma onda periódica que oscila entre -1 e 1. No nosso caso, a função é
. O número que está multiplicando o
dentro do cosseno afeta a “velocidade” com que a função oscila. Esse número é chamado de frequência angular.
Passo 3
Vamos calcular o período da função, que é o tempo que leva para uma completa oscilação da função cosseno. A fórmula para o período
de uma função
é:
Aqui,
, então:
Isso significa que a função completa uma oscilação completa a cada
segundos.
Passo 4
Agora, vamos identificar os pontos-chave para desenhar o gráfico. Vamos observar alguns valores de
e calcular
:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
- Quando
:
Passo 5
Com esses pontos, podemos começar a esboçar o gráfico:
- No início, em
, a posição está em . - Em
, a posição passa por . - Em
, a posição atinge (o ponto mais baixo). - Em
, a posição volta para . - Finalmente, em
, a posição retorna a , completando uma oscilação.
Replicando esse padrão para outros períodos, teremos uma onda senoidal que oscila entre -1 e 1 com período
segundos.
Resposta
O gráfico da função posição
é uma onda senoidal que oscila entre -1 e 1 metros, com um período de
segundos. Ela começa em
quando
, passa por
em
, atinge
em
, volta para
em
e retorna a
em
, repetindo esse padrão continuamente.