Mostre que a área da esfera
é
.
Passo 1
O enunciado pede para provar que a área da superfície da esfera
é igual a
.
O que vamos usar aqui é a ideia de parametrizar a esfera por coordenadas esféricas e calcular a integral de superfície.
O que vamos usar aqui é a ideia de parametrizar a esfera por coordenadas esféricas e calcular a integral de superfície.
Passo 2
Parametrizamos a esfera de raio
por dois parâmetros
(colatitude) e
(longitude):
com
e
.
A área de superfície é
A área de superfície é
Calcula-se (diretamente ou lembrando do resultado padrão) que
Passo 3
Montamos a integral dupla que dá a área total:
Passo 4
Primeiro integramos em
phi :
Depois integramos em
theta :
Multiplicando tudo:
Resposta
A área da esfera é
4pi r^2 .