Mostre que a área da esfera x^2+y^2+z^2=r^2 é 4 pi r^2.

Passo 1

O enunciado pede para provar que a área da superfície da esfera
x^2+y^2+z^2=r^2
é igual a 4pi r^2.
O que vamos usar aqui é a ideia de parametrizar a esfera por coordenadas esféricas e calcular a integral de superfície.

Passo 2

Parametrizamos a esfera de raio r por dois parâmetros phi (colatitude) e theta (longitude):
X(phi,theta) = l(rsinphicostheta,;rsinphisintheta,;rcosphir),
com phiin[0,pi] e thetain[0,2pi].
A área de superfície é
dS = llVert partialphiXtimespartialthetaXrrVert,dphi,dtheta
Calcula-se (diretamente ou lembrando do resultado padrão) que
llVert partialphiXtimespartialthetaXrrVert = r^2sinphi

Passo 3

Montamos a integral dupla que dá a área total:
A =integral0^2piintegral0^pir^2sinphi;dphi,dtheta

Passo 4

Primeiro integramos em phi:
integral0^pisinphi;dphi =l[-cosphir]0^pi =2
Depois integramos em theta:
integral0^2pidtheta =2pi
Multiplicando tudo:
A = r^2times 2times 2pi = 4pi r^2

Resposta

A área da esfera é 4pi r^2.

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