Mostre que a área sob o gráfico de y=sen raizx de 0 a 4 é igual à área sob o gráfico de y=2 x sen x de 0 a 2 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que as duas áreas
integral0^4sinl(raizxr),dx e integral0^22xsin(x),dx
são iguais. O conteúdo necessário é a técnica de substituição em integrais definidas.

Passo 2

Fazemos a substituição
t = raizx,
de modo que
x = t^2 e dx = 2t,dt

Passo 3

Como x varia de 0 a 4, os limites em t são
x=0mapsto t=0, x=4mapsto t=2

Passo 4

Aplicando a substituição na primeira integral, obtemos
integral0^4sinl(raizxr),dx =integralt=0^t=2sin(t),l(2t,dtr) =integral0^22tsin(t),dt

Passo 5

A integral
integral0^22tsin(t),dt
é exatamente a área sob o gráfico de y=2xsin(x) de 0 a 2. Logo, as duas áreas coincidem.

Resposta

integral0^4sinl(raizxr),dx =integral0^22xsin(x),dx

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