(a) Mostre que os autovalores de um tensor simétrico de segunda ordem são reais. (b) Mostre que os autovetores associados a distintos autovalores são perpendiculares. (c) Seja o seguinte tensor simétrico
Determine os autovetores, autovalores e os vetores unitários ao longo das direções principais do tensor. Obtenha a matriz de tranformação entre os sistemas de coordenadas em questão.
Passo 1
O enunciado tem três pedidos claros:
(a) Mostrar que os autovalores de um tensor simétrico de segunda ordem são reais.
(b) Mostrar que autovetores associados a autovalores distintos são perpendiculares.
determinar os autovalores, os autovetores, os vetores unitários nas direções principais e obter a matriz de transformação entre os sistemas de coordenadas (isto é, a matriz ortogonal que leva do sistema de autovetores ao sistema original, ou que diagonaliza T).
As informações relevantes fornecidas são: a matriz T explicitada acima e o fato de T ser simétrica (isto é, T_{ik}=T_{ki}).
Passo 2
(a) Definição e estratégia: vamos provar que todos os autovalores \lambda de uma matriz simétrica real T são números reais. Primeiro lembro o que é autovalor/autovetor: um par (\lambda,\mathbf{v}) satisfaz
T\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v},
onde \mathbf{v} é um vetor não-nulo (pode ser complexo em princípio). A prova usa o produto interno (conjugado) e a simetria de T.
Explicação do produto interno e conjugado: se \mathbf{v} é um vetor complexo coluna, seu conjugado transposto é \mathbf{v}^* (linha). Tem-se a propriedade \mathbf{v}^* \mathbf{v}=\sum_i |v_i|^2, número real e positivo quando \mathbf{v}\neq\mathbf{0}. Também vale (\mathbf{a}^* B \mathbf{c})^* = \mathbf{c}^* B^* \mathbf{a} para matrizes/vetores compatíveis.
Prova passo a passo: suponha T\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} com \mathbf{v}\neq\mathbf{0}. Considere o escalar
Agora use a simetria e o fato de T ser real: T^*=T. Então o conjugado do escalar \mathbf{v}^* T \mathbf{v} é
\left(\mathbf{v}^* T \mathbf{v}\right)^* = \mathbf{v}^* T^* \mathbf{v} = \mathbf{v}^* T \mathbf{v},
ou seja, \mathbf{v}^* T \mathbf{v} é um número real. Mas pelo desenvolvimento anterior é igual a \lambda (\mathbf{v}^* \mathbf{v}). Como \mathbf{v}^* \mathbf{v} é real e positivo, concluímos que \lambda deve ser real. Portanto todos os autovalores são reais.
Comentário amigável: a ideia é simples — o produto \mathbf{v}^* T \mathbf{v} tem de ser real porque T é simétrica real; mas esse produto também é \lambda vezes um número real positivo, então \lambda tem de ser real. Isso é a razão pela qual matrizes simétricas têm autovalores reais.
Passo 3
(b) Enunciação do objetivo: mostrar que se \mathbf{u} e \mathbf{v} são autovetores de T correspondendo a autovalores distintos \lambda e \mu (com \lambda\neq\mu), então \mathbf{u} e \mathbf{v} são perpendiculares, isto é \mathbf{u}^T \mathbf{v}=0.
Prova passo a passo usando simetria: partimos de T\mathbf{u}=\lambda\mathbf{u} e T\mathbf{v}=\mu\mathbf{v}. Considere o escalar \mathbf{u}^T T \mathbf{v}. Pela segunda equação,
Como \lambda\neq\mu, segue que \mathbf{u}^T \mathbf{v}=0. Ou seja, autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais.
Comentário prático: nas provas é comum usar exatamente essa manipulação — calcular \mathbf{u}^T T \mathbf{v} de duas maneiras diferentes graças à simetria de T.
Passo 4
(c) Vamos calcular agora, de forma passo a passo, os autovalores e autovetores da matriz
Da primeira temos 3x+6z=0\Rightarrow x=-2z. Substituindo na terceira obtemos 6(-2z)+8z=-12z+8z=-4z=0\Rightarrow z=0. Logo x=0. A linha 2 não impõe restrição, então y é livre. Tomando y=1 obtemos um autovetor
Da segunda vem y=0. Das outras duas, por exemplo da primeira: -9x+6z=0\Rightarrow 6z=9x\Rightarrow z=\tfrac{3}{2}x. A terceira dá 6x-4z=0\Rightarrow 4z=6x\Rightarrow z=\tfrac{3}{2}x, consistente. Tome x=2 para evitar frações; então z=3. Um autovetor associado a \lambda_1=10 é
Da segunda vem y=0. Da primeira: 4x+6z=0\Rightarrow 2x+3z=0\Rightarrow z=-\tfrac{2}{3}x. Tome x=3 para evitar frações; então z=-2. Um autovetor associado a \lambda_2=-3 é
Matriz de transformação (matriz cujas colunas são os vetores unitários): montamos a matriz ortogonal Q cujas colunas são \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3 escritas no sistema de coordenadas original. Assim
ou seja, Q diagonaliza T colocando os autovalores na diagonal na mesma ordem das colunas de Q.
Observação sobre o determinante: com a escolha de sinais acima \det Q=-1 (isso apenas significa que Q contém uma reflexão; poderíamos trocar o sinal de uma das colunas para obter \det Q=+1 se quisermos uma rotação própria). Isso não altera a diagonalização, apenas a orientação da base de autovetores.]
Resposta
(a) Os autovalores são reais.
(b) Autovetores associados a autovalores distintos são ortogonais (perpendiculares).
(c) Autovalores: \lambda=10,\; \lambda=-3,\; \lambda=-2.
Autovetores (não-normalizados): \mathbf{v}_1=\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix} para \lambda=10, \mathbf{v}_2=\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix} para \lambda=-3, \mathbf{v}_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix} para \lambda=-2.
Vetores unitários nas direções principais: \mathbf{u}_1=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}2\\\ 0\\\ 3\end{pmatrix}, \mathbf{u}_2=\dfrac{1}{\sqrt{13}}\begin{pmatrix}3\\\ 0\\\ -2\end{pmatrix}, \mathbf{u}_3=\begin{pmatrix}0\\\ 1\\\ 0\end{pmatrix}.
Matriz de transformação (colunas = \mathbf{u}_1,\mathbf{u}_2,\mathbf{u}_3):