(Transformações geométricas em ) Determine a matriz e a transformação linear associada, que:
reflete os vetores em torno do eixo ,
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações geométricas no plano, ou seja, em . A gente precisa encontrar a matriz e a transformação linear que reflete qualquer vetor em relação ao eixo . Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes de transformação e como elas afetam os vetores no plano.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa refletir um vetor em torno do eixo . Se tivermos um vetor qualquer com coordenadas , refletir esse vetor em relação ao eixo significa que a sua posição no eixo permanece a mesma, mas a sua posição no eixo muda de sinal. Ou seja, o vetor vai para .
Passo 3
Agora, vamos lembrar que qualquer transformação linear no plano pode ser representada por uma matriz tal que, ao multiplicarmos essa matriz pelo vetor , obtemos o vetor transformado. Então, queremos encontrar uma matriz que satisfaça:
Passo 4
Vamos montar a matriz A. Sabemos que:
A primeira coordenada do vetor resultante é igual à primeira coordenada do vetor original, ou seja, x.
A segunda coordenada é o negativo da segunda coordenada original, ou seja, -y.
Isso nos leva à seguinte matriz:
A = 1 & 0 0 & -1
Passo 5
Então, a transformação linear que reflete vetores em torno do eixo x é representada pela matriz A que encontramos acima. Isso significa que, para qualquer vetor (x, y), basta multiplicar pela matriz A para obter o vetor refletido.
Resposta
A matriz da transformação linear que reflete vetores em torno do eixo x é:
1 & 0 0 & -1
E a transformação associada transforma qualquer vetor (x, y) em (x, -y).