(Transformações geométricas em R^2 ) Determine a matriz e a transformação linear associada, que:
reflete os vetores em torno do eixo x,

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre transformações geométricas no plano, ou seja, em R^2. A gente precisa encontrar a matriz e a transformação linear que reflete qualquer vetor em relação ao eixo x. Para isso, vamos usar os conceitos de matrizes de transformação e como elas afetam os vetores no plano.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa refletir um vetor em torno do eixo x. Se tivermos um vetor qualquer com coordenadas (x, y), refletir esse vetor em relação ao eixo x significa que a sua posição no eixo x permanece a mesma, mas a sua posição no eixo y muda de sinal. Ou seja, o vetor (x, y) vai para (x, -y).

Passo 3

Agora, vamos lembrar que qualquer transformação linear no plano pode ser representada por uma matriz A tal que, ao multiplicarmos essa matriz pelo vetor (x, y), obtemos o vetor transformado. Então, queremos encontrar uma matriz A que satisfaça:
A x y = x -y

Passo 4

Vamos montar a matriz A. Sabemos que:
  • A primeira coordenada do vetor resultante é igual à primeira coordenada do vetor original, ou seja, x.
  • A segunda coordenada é o negativo da segunda coordenada original, ou seja, -y.
Isso nos leva à seguinte matriz:
A = 1 & 0 0 & -1

Passo 5

Então, a transformação linear que reflete vetores em torno do eixo x é representada pela matriz A que encontramos acima. Isso significa que, para qualquer vetor (x, y), basta multiplicar pela matriz A para obter o vetor refletido.

Resposta

A matriz da transformação linear que reflete vetores em torno do eixo x é:
1 & 0 0 & -1
E a transformação associada transforma qualquer vetor (x, y) em (x, -y).

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