Sejam uma base de e . Considere os vetores e satisfazendo:
Temos que é linearmente independente se, e somente se:
(a) ;
(b) ;
(c) ;
(d) ;
(e) .
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. O que a questão tá pedindo é para descobrir para quais valores de o conjunto de vetores é linearmente independente. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de matrizes, que ajuda a verificar essa independência.
Passo 2
Primeiro, vamos montar uma matriz com as coordenadas dos vetores , , e em relação à base . Cada vetor será uma coluna da matriz:
Passo 3
Agora, para saber se esses vetores são linearmente independentes, a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Caso contrário, são dependentes.