Sejam E uma base de V^3 e a in R. Considere os vetores v, w e z satisfazendo:
[v]E=(0,1,3), [w]E=(a, 2,0), [z]E=(1,1,1)
Temos que v, w, z é linearmente independente se, e somente se:
(a) a neq 1;
(b) a neq 6;
(c) a neq 3;
(d) a neq-1;
(e) a neq-9.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um exercício de Álgebra Linear aqui. O que a questão tá pedindo é para descobrir para quais valores de a o conjunto de vetores v, w, z é linearmente independente. Isso significa que nenhum desses vetores pode ser escrito como combinação linear dos outros. Para resolver isso, vamos usar o conceito de determinante de matrizes, que ajuda a verificar essa independência.

Passo 2

Primeiro, vamos montar uma matriz com as coordenadas dos vetores v, w, e z em relação à base E . Cada vetor será uma coluna da matriz:
A = 0 & a & 1 1 & 2 & 1 3 & 0 & 1

Passo 3

Agora, para saber se esses vetores são linearmente independentes, a gente calcula o determinante dessa matriz. Se o determinante for diferente de zero, os vetores são independentes. Caso contrário, são dependentes.

Passo 4

Vamos calcular o determinante de A :
det(A) = 0 cdot 2 & 1 0 & 1 - a cdot 1 & 1 3 & 1 + 1 cdot 1 & 2 3 & 0
Calculando cada menor:
2 & 1 0 & 1 = (2)(1) - (0)(1) = 2
1 & 1 3 & 1 = (1)(1) - (3)(1) = 1 - 3 = -2
1 & 2 3 & 0 = (1)(0) - (3)(2) = 0 - 6 = -6
Substituindo de volta:
det(A) = 0 cdot 2 - a cdot (-2) + 1 cdot (-6) = 0 + 2a - 6 = 2a - 6

Passo 5

Para que os vetores sejam linearmente independentes, o determinante deve ser diferente de zero:
2a - 6 neq 0
Resolvendo para a :
2a neq 6 implies a neq 3

Resposta

A resposta correta é a opção (c) a neq 3 .

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