Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Duas bolas são selecionadas ao acaso, uma de cada vez e sem reposição desta urna. Determine
a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na primeira retirada, sabendo que uma bola vermelha foi selecionada na segunda retirada;
a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na primeira retirada, sabendo que uma bola vermelha foi selecionada na segunda retirada;
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 pretas, totalizando 8 bolas. A gente vai tirar duas bolas, uma de cada vez, sem botar de volta. A pergunta é: qual a probabilidade de tirar uma bola vermelha na primeira vez, sabendo que a segunda bola tirada foi vermelha? Vamos usar probabilidades condicionais pra resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que a pergunta quer dizer. Queremos saber a probabilidade de a primeira bola ser vermelha dado que a segunda foi vermelha. Matemáticamente, isso é representado como P(R₁ | R₂).
Passo 3
Para achar essa probabilidade, vamos usar a fórmula das probabilidades condicionais:
Ou seja, a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas dividida pela probabilidade da segunda bola ser vermelha.
Passo 4
Vamos calcular $ P(R₁ \cap R₂) $, que é a probabilidade de tirar uma vermelha na primeira e outra vermelha na segunda:
- Na primeira retirada, temos 3 vermelhas de 8 bolas, então:
- Depois de tirar uma vermelha, ficam 2 vermelhas e 7 bolas no total:
- Multiplicando as duas probabilidades:
Passo 5
Agora, vamos calcular $ P(R₂) $, a probabilidade da segunda bola ser vermelha, independentemente da primeira:
- Pode acontecer de tirar a primeira vermelha e a segunda vermelha:
- Ou tirar a primeira preta e a segunda vermelha:
- Somando essas duas possibilidades:
Passo 6
Finalmente, aplicando a fórmula das probabilidades condicionais:
Resposta
A probabilidade de tirar uma bola vermelha na primeira retirada, sabendo que a segunda retirada foi vermelha, é
.