Uma urna contém 3 bolas vermelhas e 5 pretas. Duas bolas são selecionadas ao acaso, uma de cada vez e sem reposição desta urna. Determine
a probabilidade de uma bola vermelha ser selecionada na primeira retirada, sabendo que uma bola vermelha foi selecionada na segunda retirada;

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma urna com 3 bolas vermelhas e 5 pretas, totalizando 8 bolas. A gente vai tirar duas bolas, uma de cada vez, sem botar de volta. A pergunta é: qual a probabilidade de tirar uma bola vermelha na primeira vez, sabendo que a segunda bola tirada foi vermelha? Vamos usar probabilidades condicionais pra resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que a pergunta quer dizer. Queremos saber a probabilidade de a primeira bola ser vermelha dado que a segunda foi vermelha. Matemáticamente, isso é representado como P(R₁ | R₂).

Passo 3

Para achar essa probabilidade, vamos usar a fórmula das probabilidades condicionais:
P(R₁ | R₂) = P(R₁ cap R₂)P(R₂)
Ou seja, a probabilidade de ambas as bolas serem vermelhas dividida pela probabilidade da segunda bola ser vermelha.

Passo 4

Vamos calcular $ P(R₁ \cap R₂) $, que é a probabilidade de tirar uma vermelha na primeira e outra vermelha na segunda:
  • Na primeira retirada, temos 3 vermelhas de 8 bolas, então: P(R₁ cap R₂)
    - Depois de tirar uma vermelha, ficam 2 vermelhas e 7 bolas no total:
    P(R₁) = 38
  • Multiplicando as duas probabilidades: P(R₂ | R₁) = 27

Passo 5

Agora, vamos calcular $ P(R₂) $, a probabilidade da segunda bola ser vermelha, independentemente da primeira:
  • Pode acontecer de tirar a primeira vermelha e a segunda vermelha: P(R₂)
    - Ou tirar a primeira preta e a segunda vermelha:
    38 times 27 = 656
  • Somando essas duas possibilidades: 58 times 37 = 1556

Passo 6

Finalmente, aplicando a fórmula das probabilidades condicionais:
P(R₁ | R₂) = 32838 = 328 times 83 = 828 = 27

Resposta

A probabilidade de tirar uma bola vermelha na primeira retirada, sabendo que a segunda retirada foi vermelha, é 27.

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