Mostre que se
, então
.
Dica: Demonstre por contradição.
Passo 1
O enunciado dá a igualdade entre dois conjuntos:
A pergunta é: mostrar que isso implica
Informações relevantes fornecidas:
- A igualdade acima é válida para os conjuntos
e . - Pedido: provar que a interseção de
e é o conjunto vazio.
Passo 2
Relembrando definições (para não pular nada):
-
significa que ou (ou ambos). -
significa que e . -
significa que e .
Essas definições vão ser usadas frase a frase, então não sairão de cima da mesa.
Passo 3
Estratégia sugerida: prova por contradição. Isso significa assumir o oposto do que queremos provar e obter uma contradição com a hipótese dada. Aqui, o oposto de
é: existe algum elemento em comum, ou seja, existe
tal que
Vamos assumir isso e mostrar que contradiz a igualdade
.
Passo 4
Assuma, para obter contradição, que exista
com
Pela definição de interseção, isso significa
Portanto
(pois está em
e também em
). Usando a hipótese de igualdade de conjuntos, todo elemento de
pertence a
. Assim:
Passo 5
A condição
significa que uma das duas alternativas vale:
-
, ou -
.
Analise cada alternativa e mostre que ambas são impossíveis dado
.
Passo 6
Caso 1: se
, então, por definição de diferença,
Isto contradiz diretamente o fato assumido de que
. Logo a alternativa
é impossível.
Passo 7
Caso 2: se
, então
Isto contradiz o fato assumido de que
. Logo a alternativa
também é impossível.
Passo 8
Como
obrigaria que
estivesse em pelo menos uma das alternativas e ambas são impossíveis, chegamos a uma contradição com a suposição inicial de que existia
. Portanto a suposição é falsa, isto é, não existe tal
.
Passo 9
Conclusão: não existe nenhum elemento em
. Em outras palavras,