Mostre que se (A-B) \cup(B-A)=A \cup B, então A \cap B=\varnothing.
Dica: Demonstre por contradição.

Passo 1

O enunciado dá a igualdade entre dois conjuntos:
(A-B)\cup(B-A)=A\cup B.
A pergunta é: mostrar que isso implica
A\cap B=\varnothing.
Informações relevantes fornecidas:
  • A igualdade acima é válida para os conjuntos A e B.
  • Pedido: provar que a interseção de A e B é o conjunto vazio.

Passo 2

Relembrando definições (para não pular nada):
  • x\in A\cup B significa que x\in A ou x\in B (ou ambos).
  • x\in A\cap B significa que x\in A e x\in B.
  • x\in A-B significa que x\in A e x\notin B.
    Essas definições vão ser usadas frase a frase, então não sairão de cima da mesa.

Passo 3

Estratégia sugerida: prova por contradição. Isso significa assumir o oposto do que queremos provar e obter uma contradição com a hipótese dada. Aqui, o oposto de A\cap B=\varnothing é: existe algum elemento em comum, ou seja, existe x tal que
x\in A\cap B.
Vamos assumir isso e mostrar que contradiz a igualdade (A-B)\cup(B-A)=A\cup B.

Passo 4

Assuma, para obter contradição, que exista x com
x\in A\cap B.
Pela definição de interseção, isso significa
x\in A\quad\text{e}\quad x\in B.
Portanto x\in A\cup B (pois está em A e também em B). Usando a hipótese de igualdade de conjuntos, todo elemento de A\cup B pertence a (A-B)\cup(B-A). Assim:
x\in (A-B)\cup(B-A).

Passo 5

A condição x\in (A-B)\cup(B-A) significa que uma das duas alternativas vale:
  • x\in A-B, ou
  • x\in B-A.
Analise cada alternativa e mostre que ambas são impossíveis dado x\in A\cap B.

Passo 6

Caso 1: se x\in A-B, então, por definição de diferença,
x\in A\quad\text{e}\quad x\notin B.
Isto contradiz diretamente o fato assumido de que x\in B. Logo a alternativa x\in A-B é impossível.

Passo 7

Caso 2: se x\in B-A, então
x\in B\quad\text{e}\quad x\notin A.
Isto contradiz o fato assumido de que x\in A. Logo a alternativa x\in B-A também é impossível.

Passo 8

Como x\in (A-B)\cup(B-A) obrigaria que x estivesse em pelo menos uma das alternativas e ambas são impossíveis, chegamos a uma contradição com a suposição inicial de que existia x\in A\cap B. Portanto a suposição é falsa, isto é, não existe tal x.

Passo 9

Conclusão: não existe nenhum elemento em A\cap B. Em outras palavras,
A\cap B=\varnothing.

Resposta

\,A\cap B=\varnothing

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