O que se pode dizer sobre o conjunto
se
?
Passo 1
O enunciado dá explicitamente o conjunto das partes (power set) de
:
A pergunta é: o que se pode dizer sobre o conjunto
?\n
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
-
é o conjunto de todos os subconjuntos de . - Dentro de
aparecem os subconjuntos , , e . - Não aparecem outros subconjuntos além desses quatro.
Passo 2
Lembrete (definição útil): por definição,
contém exatamente todos os subconjuntos de
. Portanto, se um subconjunto
aparece em
, isso significa exatamente que
.
Aplicando isso ao caso: como
, tem-se
o que, pela definição de subconjunto singleton, implica
De forma análoga, como
, tem-se
Passo 3
Também está em
o subconjunto
. Pelo mesmo raciocínio,
o que reafirma que
e
. Até aqui sabemos que
contém pelo menos
e
.
Passo 4
Agora precisamos excluir a possibilidade de
ter outros elementos além de
e
. Suponha, por absurdo, que exista
com
. Então o subconjunto
seria um subconjunto de
, logo
. Mas isso contradiz a informação do enunciado, porque a listagem de
não contém nenhuma singleton além de
e
. Portanto não existe tal
. Conclui-se que
não pode ter elementos além de
e
.
Passo 5
Portanto
contém exatamente os elementos
e
, ou seja
Passo 6
Verificação adicional (via cardinalidade): para um conjunto finito com
elementos vale a fórmula
onde
denota cardinalidade. Aqui
, então
e portanto
. Isso confirma que
tem exatamente dois elementos, compatível com
.
Passo 7
Uma observação importante sobre
e
: os símbolos
e
devem representar elementos distintos, isto é,
. Se
então
e a lista de
teria menos de quatro conjuntos distintos, o que contraria o enunciado. Logo
e
são distintos.