O que se pode dizer sobre o conjunto A se P(A)=\{\varnothing,\{x\},\{y\},\{x, y\}\} ?

Passo 1

O enunciado dá explicitamente o conjunto das partes (power set) de A:
P(A)=\{\varnothing,\{x\},\{y\},\{x,y\}\}.
A pergunta é: o que se pode dizer sobre o conjunto A?\n
Informações relevantes fornecidas:
  • P(A) é o conjunto de todos os subconjuntos de A.
  • Dentro de P(A) aparecem os subconjuntos \varnothing, \{x\}, \{y\} e \{x,y\}.
  • Não aparecem outros subconjuntos além desses quatro.

Passo 2

Lembrete (definição útil): por definição, P(A) contém exatamente todos os subconjuntos de A. Portanto, se um subconjunto B aparece em P(A), isso significa exatamente que B\subseteq A.
Aplicando isso ao caso: como \{x\}\in P(A), tem-se
\{x\}\subseteq A,
o que, pela definição de subconjunto singleton, implica
x\in A.
De forma análoga, como \{y\}\in P(A), tem-se
y\in A.

Passo 3

Também está em P(A) o subconjunto \{x,y\}. Pelo mesmo raciocínio,
\{x,y\}\subseteq A,
o que reafirma que x\in A e y\in A. Até aqui sabemos que A contém pelo menos x e y.

Passo 4

Agora precisamos excluir a possibilidade de A ter outros elementos além de x e y. Suponha, por absurdo, que exista z\in A com z\notin\{x,y\}. Então o subconjunto \{z\} seria um subconjunto de A, logo \{z\}\in P(A). Mas isso contradiz a informação do enunciado, porque a listagem de P(A) não contém nenhuma singleton além de \{x\} e \{y\}. Portanto não existe tal z. Conclui-se que A não pode ter elementos além de x e y.

Passo 5

Portanto A contém exatamente os elementos x e y, ou seja
A=\{x,y\}.

Passo 6

Verificação adicional (via cardinalidade): para um conjunto finito com n elementos vale a fórmula
|P(A)|=2^{|A|},
onde |\cdot| denota cardinalidade. Aqui |P(A)|=4, então 2^{|A|}=4 e portanto |A|=2. Isso confirma que A tem exatamente dois elementos, compatível com A=\{x,y\}.

Passo 7

Uma observação importante sobre x e y: os símbolos x e y devem representar elementos distintos, isto é, x\neq y. Se x=y então \{x\}=\{y\} e a lista de P(A) teria menos de quatro conjuntos distintos, o que contraria o enunciado. Logo x e y são distintos.

Resposta

A=\{x,y\} (com x\neq y).

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