Resolva as seguintes equações:
h)
h)
Passo 1
Entendi o que o exercício pede: encontrar todas as soluções complexas
que satisfazem
Informações relevantes dadas:
- O termo do lado direito é
, um número real maior que . - A variável é
, que deve ser entendida como número complexo (caso contrário não haveria solução real, pois para ).
O objetivo é achar a forma geral (familia de soluções) para.
Passo 2
Vamos usar a forma exponencial da função seno, que transforma a equação transcendente em uma equação algébrica. A fórmula é
Define-se a variável auxiliar
Com essa substituição a expressão fica mais simples porque
. A ideia é transformar em uma equação polinomial em
, resolver
e depois voltar para
usando logaritmo complexo.
Passo 3
Substituindo na equação original:
Multiplicando ambos os lados por
para eliminar denominadores:
Obtivemos um polinômio quadrático em
.
Passo 4
Resolvemos a quadrática. Coeficientes:
,
,
.
O discriminante é
O discriminante é
Tomando a raiz quadrada de
(lembrando que
), as raízes são
Portanto as duas possibilidades para
são
Observe que os fatores
são números reais positivos e que
.
Passo 5
Agora voltamos para
. Tomamos logaritmo complexo de
. Para um número complexo escrito em forma polar
temos
,
(logaritmo multi‑valuado). Escrevendo
com
, temos
, logo
Como
, obtemos
Isolando
:
Passo 6
Aplicando isso às duas raízes
e
(com
e
), obtemos duas famílias:
Usando a relação
(pois o produto é
), podemos escrever as soluções de forma mais compacta, com o sinal ±:
Isto dá todas as soluções complexas. Note que não há solução real, porque a parte imaginária é
.