Resolva as seguintes equações:
h) \operatorname{sen} z=\sqrt{3}

Passo 1

Entendi o que o exercício pede: encontrar todas as soluções complexas z que satisfazem
\sin z = \sqrt{3}.
Informações relevantes dadas:
  • O termo do lado direito é \sqrt{3}, um número real maior que 1.
  • A variável é z, que deve ser entendida como número complexo (caso contrário não haveria solução real, pois \sin x\in[-1,1] para x\in\mathbb{R}).
    O objetivo é achar a forma geral (familia de soluções) para z\in\mathbb{C}.

Passo 2

Vamos usar a forma exponencial da função seno, que transforma a equação transcendente em uma equação algébrica. A fórmula é
\sin z=\frac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}.
Define-se a variável auxiliar
t=e^{iz}.
Com essa substituição a expressão fica mais simples porque e^{-iz}=1/t. A ideia é transformar em uma equação polinomial em t, resolver t e depois voltar para z usando logaritmo complexo.

Passo 3

Substituindo na equação original:
\frac{t-\frac{1}{t}}{2i}=\sqrt{3}.
Multiplicando ambos os lados por 2i t para eliminar denominadores:
t^2-2i\sqrt{3}\,t-1=0.
Obtivemos um polinômio quadrático em t.

Passo 4

Resolvemos a quadrática. Coeficientes: a=1, b=-2i\sqrt{3}, c=-1.
O discriminante é
\Delta=b^2-4ac=(-2i\sqrt{3})^2-4\cdot1\cdot(-1)=-12+4=-8.
Tomando a raiz quadrada de \Delta (lembrando que \sqrt{-8}=2i\sqrt{2}), as raízes são
t=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2}=\frac{2i\sqrt{3}\pm 2i\sqrt{2}}{2}=i\bigl(\sqrt{3}\pm\sqrt{2}\bigr).
Portanto as duas possibilidades para t=e^{iz} são
t_+=i\bigl(\sqrt{3}+\sqrt{2}\bigr),\qquad t_-=i\bigl(\sqrt{3}-\sqrt{2}\bigr).
Observe que os fatores \sqrt{3}\pm\sqrt{2} são números reais positivos e que (\sqrt{3}+\sqrt{2})(\sqrt{3}-\sqrt{2})=1.

Passo 5

Agora voltamos para z. Tomamos logaritmo complexo de t=e^{iz}. Para um número complexo escrito em forma polar re^{i\theta} temos \ln(re^{i\theta})=\ln r + i(\theta+2\pi n), n\in\mathbb{Z} (logaritmo multi‑valuado). Escrevendo t=iA com A>0, temos iA=Ae^{i\pi/2}, logo
\ln(iA)=\ln A + i\Bigl(\frac{\pi}{2}+2\pi n\Bigr),\qquad n\in\mathbb{Z}.
Como i z=\ln t, obtemos
i z=\ln A + i\Bigl(\frac{\pi}{2}+2\pi n\Bigr).
Isolando z:
z=-i\ln A + \frac{\pi}{2}+2\pi n,\qquad n\in\mathbb{Z}.

Passo 6

Aplicando isso às duas raízes t_+ e t_- (com A_+=\sqrt{3}+\sqrt{2} e A_-=\sqrt{3}-\sqrt{2}), obtemos duas famílias:
z=\frac{\pi}{2}+2\pi n - i\ln\bigl(\sqrt{3}+\sqrt{2}\bigr),\qquad n\in\mathbb{Z},
z=\frac{\pi}{2}+2\pi n - i\ln\bigl(\sqrt{3}-\sqrt{2}\bigr),\qquad n\in\mathbb{Z}.
Usando a relação \ln(\sqrt{3}-\sqrt{2})=-\ln(\sqrt{3}+\sqrt{2}) (pois o produto é 1), podemos escrever as soluções de forma mais compacta, com o sinal ±:
z=\frac{\pi}{2}+2\pi n \pm i\ln\bigl(\sqrt{3}+\sqrt{2}\bigr),\qquad n\in\mathbb{Z}.
Isto dá todas as soluções complexas. Note que não há solução real, porque a parte imaginária é \pm\ln(\sqrt{3}+\sqrt{2})\neq 0.

Resposta

z=\frac{\pi}{2}+2\pi n \pm i\ln\bigl(\sqrt{3}+\sqrt{2}\bigr),\qquad n\in\mathbb{Z}.

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