Resolva as seguintes equações:
f) e^{z}=1+i

Passo 1

O enunciado pede: encontrar todos os números complexos z tais que
e^{z}=1+i.
Informações dadas e coisas úteis que já podemos extrair (sem resolver ainda):
  • O número do lado direito é 1+i.
  • O objetivo é determinar todos os z\in\mathbb{C} que satisfazem essa igualdade.
  • Vou usar a representação z=x+iy com x,y\in\mathbb{R} (onde x é a parte real e y a parte imaginária de z) e as propriedades do exponencial complexo.
  • Dados que podemos calcular imediatamente do número 1+i:
    • O módulo é \lvert 1+i\rvert=\sqrt{1^{2}+1^{2}}=\sqrt{2}.
    • Um argumento principal é \arg(1+i)=\tfrac{\pi}{4} (porque 1+i está no primeiro quadrante com coordenadas iguais).

Passo 2

Reescrevendo z e usando a fórmula do exponencial complexo:
z=x+iy,\qquad x,y\in\mathbb{R}.
Então
e^{z}=e^{x+iy}=e^{x}e^{iy}.
Explicar essa fórmula: e^{x+iy}=e^{x}\cdot e^{iy} porque a exponenciação complexa satisfaz e^{a+b}=e^{a}e^{b} para quaisquer a,b. Além disso,
e^{iy}=\cos y + i\sin y,
que é a fórmula de Euler. Assim podemos escrever
e^{z}=e^{x}(\cos y + i\sin y).
Essa expressão deve ser igual a 1+i.

Passo 3

Igualando módulos (tamanho) dos dois lados:
  • O módulo do lado esquerdo é \lvert e^{z}\rvert=\lvert e^{x}(\cos y+i\sin y)\rvert=e^{x}, porque \lvert\cos y + i\sin y\rvert=1.
  • O módulo do lado direito é \lvert 1+i\rvert=\sqrt{2} (peguei esse valor do que listei no Passo 1).
Logo temos
e^{x}=\sqrt{2}.
Resolver para x: tomar logaritmo natural (explicando: log natural é a função inversa de e^{t} em \mathbb{R}):
x=\ln\!\bigl(\sqrt{2}\,\bigr).
Podemos simplificar \ln(\sqrt{2})=\tfrac{1}{2}\ln 2. Portanto
x=\tfrac{1}{2}\ln 2.

Passo 4

Agora igualamos as partes real e imaginária da igualdade
e^{x}(\cos y + i\sin y)=1+i.
Como já sabemos e^{x}=\sqrt{2}, dividimos ambos os lados por \sqrt{2} para obter
\cos y + i\sin y = \frac{1+i}{\sqrt{2}}.
O lado direito é exatamente \dfrac{1}{\sqrt{2}} + i\dfrac{1}{\sqrt{2}}. Portanto as duas equações reais são
\cos y = \frac{1}{\sqrt{2}},\qquad \sin y = \frac{1}{\sqrt{2}}.
Explicação didática: uma maneira prática é notar que \tan y = \dfrac{\sin y}{\cos y} = 1, então
\tan y = 1 \quad\Rightarrow\quad y = \frac{\pi}{4} + \pi n,\quad n\in\mathbb{Z}.
Mas atenção ao sinal: para 1+i tanto \cos y quanto \sin y são positivos (igual a 1/\sqrt{2}), então devemos escolher os valores de y em que ambos são positivos. Entre as soluções y=\tfrac{\pi}{4}+\pi n, quando n é par ambos seno e cosseno têm os sinais iguais aos de \tfrac{\pi}{4} (positivos); quando n é ímpar ambos são negativos. Portanto só os n pares servem. Escrever n=2k com k\in\mathbb{Z} e obtemos
y=\frac{\pi}{4}+2\pi k,\qquad k\in\mathbb{Z}.
Outra forma curta de ver isso é usar o argumento: \arg(1+i)=\tfrac{\pi}{4}+2\pi k por causa da periodicidade 2\pi da fase.

Passo 5

Juntando x e y obtemos todas as soluções z=x+iy:
z=\frac{1}{2}\ln 2 + i\!\left(\frac{\pi}{4}+2\pi k\right),\qquad k\in\mathbb{Z}.
Explicação final sobre periodicidade: isso reflete o fato de que e^{z} é 2\pi i-periódica na direção imaginária, isto é, e^{z+2\pi i}=e^{z}. Assim ao adicionar 2\pi k à parte imaginária obtemos todas as soluções.

Resposta

z=\dfrac{1}{2}\ln 2 + i\!\left(\dfrac{\pi}{4}+2\pi k\right),\quad k\in\mathbb{Z}

Exercícios relacionados