Resolva as seguintes equações:
f)
f)
Passo 1
O enunciado pede: encontrar todos os números complexos
tais que
Informações dadas e coisas úteis que já podemos extrair (sem resolver ainda):
- O número do lado direito é
. - O objetivo é determinar todos os
que satisfazem essa igualdade. - Vou usar a representação
com (onde é a parte real e a parte imaginária de ) e as propriedades do exponencial complexo. - Dados que podemos calcular imediatamente do número
: - O módulo é
. - Um argumento principal é
(porque está no primeiro quadrante com coordenadas iguais).
- O módulo é
Passo 2
Reescrevendo
e usando a fórmula do exponencial complexo:
Então
Explicar essa fórmula:
porque a exponenciação complexa satisfaz
para quaisquer
. Além disso,
que é a fórmula de Euler. Assim podemos escrever
Essa expressão deve ser igual a
.
Passo 3
Igualando módulos (tamanho) dos dois lados:
- O módulo do lado esquerdo é
, porque . - O módulo do lado direito é
(peguei esse valor do que listei no Passo 1).
Logo temos
Resolver para
: tomar logaritmo natural (explicando: log natural é a função inversa de
em
):
Podemos simplificar
. Portanto
Passo 4
Agora igualamos as partes real e imaginária da igualdade
Como já sabemos
, dividimos ambos os lados por
para obter
O lado direito é exatamente
. Portanto as duas equações reais são
Explicação didática: uma maneira prática é notar que
, então
Mas atenção ao sinal: para
tanto
quanto
são positivos (igual a
), então devemos escolher os valores de
em que ambos são positivos. Entre as soluções
, quando
é par ambos seno e cosseno têm os sinais iguais aos de
(positivos); quando
é ímpar ambos são negativos. Portanto só os
pares servem. Escrever
com
e obtemos
Outra forma curta de ver isso é usar o argumento:
por causa da periodicidade
da fase.
Passo 5
Juntando
e
obtemos todas as soluções
:
Explicação final sobre periodicidade: isso reflete o fato de que
é
-periódica na direção imaginária, isto é,
. Assim ao adicionar
à parte imaginária obtemos todas as soluções.