Mostre que se a, b, m são inteiros tais que m>0, a equiv b(bmod m),|a| e |b| então a=b.

Passo 1

A questão dá inteiros a,b,m com m>0, afirma que aequiv bpmod m e que |a| e |b|. O conteúdo é congruência módulo m e vamos usar a definição de congruência e desigualdades triangulares para concluir.

Passo 2

Pela definição de congruência, aequiv bpmod m significa que m divide a-b. Logo existe um kinZ tal que
a-b = k m .

Passo 3

Usamos agora que
|a-b| <= |a| + |b| < m2 + m2 = m
Então |a-b|, mas a-b é múltiplo de m. O único múltiplo de m com valor absoluto menor que m é zero.

Passo 4

Logo a-b=0, o que implica a=b.

Resposta

a = b

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