Seja
, dados
e
defina as operações:
Verifique que
com essas operações é um
-espaço vetorial e que
dada por
é uma transformação linear.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que o conjunto V=(0,∞) com as operações x+y:=x·y e α·x:=x^α é um espaço vetorial sobre ℝ, e que T:V→ℝ dada por T(x)=ln(x) é transformação linear. O conteúdo aqui é verificar os axiomas de espaço vetorial (grupo abeliano em +, leis de escalar·vetor) e depois usar propriedades do logaritmo para linearidade.
Passo 2
Para a operação “+” definida por produto em ℝ^+: é preciso verificar comutatividade e associatividade. Comutatividade: para quaisquer x,y>0, temos x+y=x·y=y·x=y+x. Associatividade: para quaisquer x,y,z>0, os dois modos de agrupar (x+y)+z e x+(y+z) são:
Logo, (V,+) é um semigrupo comutativo.
Passo 3
Precisamos agora do neutro e do inverso aditivo. Buscamos e∈V tal que x+e=x para todo x, ou seja x·e=x em ℝ^+. Logo e=1. O inverso de x é y tal que x+y=1, isto é x·y=1, daí y=x^{-1}. Como x^{-1}>0, y∈V. Assim (V,+) é grupo abeliano.
Passo 4
Agora olhamos para a multiplicação por escalar. Primeiro fechamento e axiomas unitário e associativo:
Falta checar as duas distributividades: para α∈ℝ e x,y>0 temos
e para α,β∈ℝ e x>0
Com esses axiomas checados, concluímos que V é espaço vetorial real.
Passo 5
Para mostrar que T(x)=ln(x) é linear, usamos propriedades do logaritmo. Para x,y>0:
E para α∈ℝ e x>0:
Portanto, T preserva soma e multiplicação escalar, logo é transformação linear.
Resposta
V com as operações dadas é um espaço vetorial sobre ℝ, e T(x)=ln(x) é linear.