Seja V=(0, infty), dados x, y in V e alpha in R defina as operações:
& x+y:=x cdot y & alpha cdot x:=x^alpha
Verifique que V com essas operações é um R-espaço vetorial e que T: V R dada por T(x)=ln (x) é uma transformação linear.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto V=(0,∞) com as operações x+y:=x·y e α·x:=x^α é um espaço vetorial sobre ℝ, e que T:V→ℝ dada por T(x)=ln(x) é transformação linear. O conteúdo aqui é verificar os axiomas de espaço vetorial (grupo abeliano em +, leis de escalar·vetor) e depois usar propriedades do logaritmo para linearidade.

Passo 2

Para a operação “+” definida por produto em ℝ^+: é preciso verificar comutatividade e associatividade. Comutatividade: para quaisquer x,y>0, temos x+y=x·y=y·x=y+x. Associatividade: para quaisquer x,y,z>0, os dois modos de agrupar (x+y)+z e x+(y+z) são:
(x+y)+z=(xcdot y)cdot z=xcdot(ycdot z)=x+(y+z)
Logo, (V,+) é um semigrupo comutativo.

Passo 3

Precisamos agora do neutro e do inverso aditivo. Buscamos e∈V tal que x+e=x para todo x, ou seja x·e=x em ℝ^+. Logo e=1. O inverso de x é y tal que x+y=1, isto é x·y=1, daí y=x^{-1}. Como x^{-1}>0, y∈V. Assim (V,+) é grupo abeliano.

Passo 4

Agora olhamos para a multiplicação por escalar. Primeiro fechamento e axiomas unitário e associativo:
(i) α·x=x^αin(0,∞)(fechamento);
(ii) 1·x=x^1=x;
(iii) (αβ)·x=x^αβ=(x^β)^α=α·(β·x)
Falta checar as duas distributividades: para α∈ℝ e x,y>0 temos
α·(x+y)=α·(x·y)=(x·y)^α=x^αcdot y^α=(α·x)+(α·y),
e para α,β∈ℝ e x>0
(α+β)·x=x^α+β=x^αcdot x^β=(α·x)+(β·x)
Com esses axiomas checados, concluímos que V é espaço vetorial real.

Passo 5

Para mostrar que T(x)=ln(x) é linear, usamos propriedades do logaritmo. Para x,y>0:
T(x+y)=T(xcdot y)=ln(xcdot y)=ln(x)+ln(y)=T(x)+T(y)
E para α∈ℝ e x>0:
T(α·x)=T(x^α)=ln(x^α)=αln(x)=α,T(x)
Portanto, T preserva soma e multiplicação escalar, logo é transformação linear.

Resposta

V com as operações dadas é um espaço vetorial sobre ℝ, e T(x)=ln(x) é linear.

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