Seja p um número primo e n um inteiro tal que 1 <= n <= p-1. Mostre que o coeficiente binomial binompn é um inteiro divisível por p.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um primo p e um inteiro n com 1<= n<= p-1, o coeficiente binomial binompn é divisível por p. O conteúdo envolve definições de coeficiente binomial via fatoriais e propriedades de divisibilidade de números primos.

Passo 2

A definição básica de coeficiente binomial é
binompn=p!n!,(p-n)!,
onde p! é o produto 1cdot2cdots p e n!,(p-n)! é o produto dos fatores de 1 até n e de 1 até p-n.

Passo 3

Como p é primo e 1<= n<= p-1, nenhum dos fatores de n! nem de (p-n)! é múltiplo de p. Logo, o denominador n!,(p-n)! não contém o fator p. Por outro lado, no numerador temos
p!=pcdot(p-1)!,
o que garante exatamente um fator p.

Passo 4

Portanto, ao dividir p! por n!,(p-n)! há um fator p sobrando no quociente, mostrando que
pmidbinompn

Resposta

Como o numerador traz um fator p e o denominador não, concluímos que binompn é múltiplo de p, isto é, pmidbinompn.

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