Seja
um número primo e
um inteiro tal que
. Mostre que o coeficiente binomial
é um inteiro divisível por
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um primo
e um inteiro
com
, o coeficiente binomial
é divisível por
. O conteúdo envolve definições de coeficiente binomial via fatoriais e propriedades de divisibilidade de números primos.
Passo 2
A definição básica de coeficiente binomial é
onde
é o produto
e
é o produto dos fatores de 1 até
e de 1 até
.
Passo 3
Como
é primo e
, nenhum dos fatores de
nem de
é múltiplo de
. Logo, o denominador
não contém o fator
. Por outro lado, no numerador temos
o que garante exatamente um fator
.
Passo 4
Portanto, ao dividir
por
há um fator
sobrando no quociente, mostrando que
Resposta
Como o numerador traz um fator
e o denominador não, concluímos que
é múltiplo de
, isto é,
.