Mostre que um número inteiro n é divisível por 25 se e somente se seus 2 últimos algarismos formam um número divisível por 25 .

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que um inteiro n é divisível por 25 ⇔ os seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 25. O conteúdo principal aqui é o critério de divisibilidade baseado no algoritmo da divisão e na propriedade de que, se um inteiro a divide b, então a também divide b + c se e somente se a divide c. Vamos usar o conceito de divisão com resto e as propriedades de divisibilidade.

Passo 2

Pela divisão inteira de n por 100, existem inteiros q (quociente) e r (resto) tais que 0 ≤ r < 100 e
n = 100q + r
Nesse contexto, r corresponde exatamente ao número formado pelos dois últimos algarismos de n.

Passo 3

Como 25 divide 100, temos 25∣100q. Então, usando a propriedade de divisibilidade de soma,
25∣n iff 25∣(100q + r)
Mas como 25∣100q, concluímos
25∣(100q + r) iff 25∣r

Passo 4

Portanto, juntando as equivalências, obtemos
25∣n iff 25∣r
que diz exatamente que n é divisível por 25 se e somente se o número formado pelos seus dois últimos algarismos ® é divisível por 25.

Resposta

n é divisível por 25 se e somente se os seus dois últimos algarismos formam um número divisível por 25.

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