Mostre que:
(g) ||-\vec{u}||=||\vec{u}||

Passo 1

O enunciado quer provar a propriedade de norma de vetores que diz que a norma de um vetor e de seu oposto são iguais, ou seja,
\|-\vec{u}\| = \|\vec{u}\|.
Para isso, vamos usar a definição de norma em termos do produto interno:
\|\vec{v}\| = \sqrt{\vec{v}\cdot \vec{v}}.

Passo 2

Aplicamos essa definição ao vetor -\vec{u}. Pela definição de norma, temos
\|-\vec{u}\| = \sqrt{(-\vec{u}) \cdot (-\vec{u})}.
O próximo passo é manipular o produto interno.

Passo 3

Usamos a bilinearidade do produto interno, em particular a propriedade de homogeneidade em cada argumento:
(-\vec{u}) \cdot (-\vec{u}) = (-1)\,(\vec{u}) \cdot (-1)\,(\vec{u}) = (-1)\,(-1)\,(\vec{u}\cdot \vec{u}) = 1\cdot(\vec{u}\cdot \vec{u}) = \vec{u}\cdot \vec{u}.

Passo 4

Substituindo de volta na expressão da norma, obtemos
\|-\vec{u}\| = \sqrt{\vec{u}\cdot \vec{u}} = \|\vec{u}\|.
Isso mostra exatamente a igualdade desejada.

Resposta

\|-\vec{u}\| = \|\vec{u}\|.

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