Prove a existência da medida produto em
usando o Teorema da Extensão Compacta.
Passo 1
Este exercício pertence ao tema de medida produto em espaços de Hausdorff localmente compactos. Vamos usar o Teorema da Extensão Compacta, que diz que um conteúdo definido em conjuntos compactos num espaço localmente compacto pode ser estendido de forma única a uma medida de Radon regular sobre a σ-álgebra de Borel.
Passo 2
Consideramos o espaço ℝ^2, que é Hausdorff e localmente compacto, e as medidas de Lebesgue λ em ℝ. Nosso objetivo é construir um conteúdo c sobre os compactos de ℝ^2 e depois aplicar o Teorema da Extensão Compacta.
Passo 3
Definimos o conteúdo c em compactos do seguinte modo: seja K⊂ℝ^2 compacto. Primeiro, caso K seja um retângulo compacto K=K₁×K₂ com K₁,K₂⊂ℝ compactos, definimos
Sejam agora R₁,…,Rₙ retângulos compactos disjuntos e K=\bigcup_{i=1}^nR_i. Definimos
Mostramos que essa definição não depende da decomposição em retângulos disjuntos.
Passo 4
Verificamos as propriedades do conteúdo c: (i) c(∅)=0; (ii) se K⊂L são compactos então c(K)≤c(L) (monotonicidade), pois podemos estender uma cobertura de K a L; (iii) se K e L são compactos disjuntos então c(K∪L)=c(K)+c(L) pela definição; (iv) para todo compacto K, c(K)<∞, pois K está contido num retângulo grande de medida finita.
Passo 5
Pelo Teorema da Extensão Compacta, esse conteúdo c se estende de forma única a uma medida de Radon μ sobre a σ-álgebra de Borel em ℝ^2, que é regular interna e externa e coincide com c em cada compacto.
Passo 6
Concluímos que μ é exatamente a medida produto de λ por λ, pois em todo retângulo compacto K₁×K₂ se tem
Passo 7
Portanto, existe uma única medida de Radon regular μ em ℝ^2 (a medida produto) que satisfaz o valor esperado em retângulos compactos e se estende a toda σ-álgebra de Borel.
Resposta
A aplicação do Teorema da Extensão Compacta ao conteúdo c definido em compactos de ℝ^2 fornece a existência (e unicidade) de uma medida de Radon μ em ℝ^2, que satisfaz μ(K₁×K₂)=λ(K₁)·λ(K₂) para todo par de compactos K₁,K₂⊂ℝ, i.e., é a medida produto desejada.