Mostre que:
(f) ||\vec{u}||=0 \Leftrightarrow \vec{u}=\overrightarrow{0}

Passo 1

O enunciado pede para provar a equivalência
\|\vec u\|=0\;\Leftrightarrow\;\vec u=\overrightarrow{0}.
O conteúdo é a definição de norma Euclidiana em \mathbb R^n, onde
\|\vec u\|=\sqrt{\langle\vec u,\vec u\rangle}
e a propriedade de soma de quadrados: \langle\vec u,\vec u\rangle=u_1^2+\cdots+u_n^2.

Passo 2

Primeiro mostramos que se \vec u=\overrightarrow{0} então \|\vec u\|=0.
De fato, para o vetor nulo \vec u=(0,\dots,0) vale
\|\vec u\|=\sqrt{0^2+\cdots+0^2}=\sqrt{0}=0.

Passo 3

Agora mostramos que se \|\vec u\|=0 então \vec u=\overrightarrow{0}.
Da definição,
\|\vec u\|=0 \;\Longrightarrow\; \|\vec u\|^2=0 \;\Longrightarrow\; u_1^2+\cdots+u_n^2=0.
Como cada termo u_i^2\ge0, a soma só pode ser zero se u_i=0 para todo i. Logo \vec u=(u_1,\dots,u_n)=\overrightarrow{0}.

Passo 4

Como demonstramos ambas as implicações, concluímos
\|\vec u\|=0\;\Leftrightarrow\;\vec u=\overrightarrow{0}.

Resposta

Portanto, o único vetor cuja norma é zero é o vetor nulo, isto é,
\|\vec u\|=0\iff\vec u=\overrightarrow{0}.

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