Sejam a, b \in \mathbb{Z} tais que (a, b)=1. Mostre que:
(a+b, a-b)=1 ou 2

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações:
  • a,b\in\mathbb{Z}.
  • (a,b)=1 (isto é, o máximo divisor comum de a e b é 1).
O que precisa ser mostrado:
  • Que (a+b,a-b) vale 1 ou 2 (ou seja, o máximo divisor comum de a+b e a-b só pode ser 1 ou 2).

Passo 2

Defina d=(a+b,a-b). Pela definição de máximo divisor comum, d é um inteiro positivo tal que
d \mid (a+b) \qquad\text{e}\qquad d \mid (a-b).
Recordando uma propriedade básica de divisibilidade: se um inteiro d divide dois inteiros x e y, então d divide qualquer combinação linear inteira u x+v y (com u,v\in\mathbb{Z}). Vou aplicar isso somando e subtraindo as duas divisibilidades acima.

Passo 3

Somando e subtraindo as expressões em que d divide, obtemos:
(a+b)+(a-b)=2a, \qquad (a+b)-(a-b)=2b.
Pelo raciocínio de combinações lineares, como d\mid(a+b) e d\mid(a-b), segue que
d\mid 2a \qquad\text{e}\qquad d\mid 2b.

Passo 4

Usamos agora o fato dado (a,b)=1. Por identidade de Bézout, existem inteiros u,v tais que
u a + v b = 1.
Multiplicando essa igualdade por 2 temos
u(2a) + v(2b) = 2.
Como d divide 2a e divide 2b, d divide qualquer combinação inteira u(2a)+v(2b). Portanto d\mid 2. Isso mostra que d só pode ser um divisor positivo de 2.

Passo 5

Os divisores positivos de 2 são apenas 1 e 2. Assim concluímos que
d=(a+b,a-b)\in\{1,2\},
ou seja, (a+b,a-b)=1 ou (a+b,a-b)=2.

Passo 6

Comentário adicional (útil na prova): quando ocorrem cada caso?
  • Se a e b têm paridades diferentes (um é par e o outro ímpar), então a+b e a-b são ímpares e portanto (a+b,a-b)=1.
  • Se a e b têm a mesma paridade, como não podem ser ambos pares (pois (a,b)=1), ambos são ímpares; então a+b e a-b são pares e (a+b,a-b)=2.

Resposta

(a+b,a-b)=1 ou (a+b,a-b)=2

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