Sejam
tais que
. Mostre que:
ou 2
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações:
-
. -
(isto é, o máximo divisor comum de e é ).
O que precisa ser mostrado:
- Que
vale ou (ou seja, o máximo divisor comum de e só pode ser ou ).
Passo 2
Defina
. Pela definição de máximo divisor comum,
é um inteiro positivo tal que
Recordando uma propriedade básica de divisibilidade: se um inteiro
divide dois inteiros
e
, então
divide qualquer combinação linear inteira
(com
). Vou aplicar isso somando e subtraindo as duas divisibilidades acima.
Passo 3
Somando e subtraindo as expressões em que
divide, obtemos:
Pelo raciocínio de combinações lineares, como
e
, segue que
Passo 4
Usamos agora o fato dado
. Por identidade de Bézout, existem inteiros
tais que
Multiplicando essa igualdade por
temos
Como
divide
e divide
,
divide qualquer combinação inteira
. Portanto
. Isso mostra que
só pode ser um divisor positivo de
.
Passo 5
Os divisores positivos de
são apenas
e
. Assim concluímos que
ou seja,
ou
.
Passo 6
Comentário adicional (útil na prova): quando ocorrem cada caso?
- Se
e têm paridades diferentes (um é par e o outro ímpar), então e são ímpares e portanto . - Se
e têm a mesma paridade, como não podem ser ambos pares (pois ), ambos são ímpares; então e são pares e .