Mostre que:
Se A \subset B e A^{\prime} \subset B^{\prime}, então A \cap A^{\prime} \subset B \cap B^{\prime}.

Passo 1

O enunciado dá as inclusões \!A \subset B\! e \!A' \subset B'\! e pede para mostrar que
A \cap A' \subset B \cap B'.
Ou seja:
  • Dados: \!A \subset B\! e \!A' \subset B'\!.
  • Objetivo: provar que todo elemento de \!A \cap A'\! também pertence a \!B \cap B'\!.

Passo 2

Vamos revisar definições essenciais (é importante entender bem elas antes de provar qualquer coisa).
Definição de subconjunto:
A \subset B
significa que "todo elemento de \!A\! é também elemento de \!B\!". Formalmente: para todo x, se x\in A então x\in B.
Definição de interseção:
A \cap A'
é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a \!A\! e a \!A'\!. Formalmente: x\in A\cap A' se, e somente se, x\in A e x\in A'.

Passo 3

Escolha do método de prova (explicando por que): a forma mais direta e padrão para provar uma inclusão de conjuntos é o “prova por elemento arbitrário” (também chamado de element-chasing): pega-se um elemento genérico do conjunto da esquerda e mostra-se que ele pertence ao conjunto da direita. É simples, direto e funciona bem aqui porque as hipóteses \!A \subset B\! e \!A' \subset B'\! falam exatamente sobre a pertença de elementos.

Passo 4

Início da prova com um elemento arbitrário.
Seja x um elemento arbitrário tal que
x \in A \cap A'.
Pelo que vimos na definição de interseção, isso significa que
x \in A \quad\text{e}\quad x \in A'.

Passo 5

Usar as hipóteses \!A \subset B\! e \!A' \subset B'\!.
Como A \subset B e sabemos que x\in A, pela definição de subconjunto obtemos
x \in B.
De modo análogo, como A' \subset B' e x\in A', obtemos
x \in B'.

Passo 6

Concluir que x\in B\cap B' e, por arbitrariedade de x, a inclusão.
Tendo mostrado que x\in B e x\in B', pela definição de interseção segue que
x \in B \cap B'.
Como x foi um elemento arbitrário de A\cap A' e sempre chegamos a x\in B\cap B', conclui-se que todo elemento de A\cap A' pertence a B\cap B'. Portanto
A \cap A' \subset B \cap B'.

Passo 7

Um exemplo concreto (para fixar a intuição).
Tomemos A=\{1,2\}, B=\{1,2,3\}, A'=\{2,4\}, B'=\{2,4,5\}.
Então A\subset B e A'\subset B'. Calculando interseções:
A\cap A'=\{2\}, \qquad B\cap B'=\{2\}.
Aqui claramente \{2\}\subset\{2\}, ilustrando a afirmação. (Em outros exemplos a interseção da direita pode ser maior, mas nunca conterá elementos fora do que vem da interseção da esquerda, quando as hipóteses de inclusão valem.)

Resposta

A \cap A' \subset B \cap B'

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