Mostre que:
Se
e
, então
.
Se
Passo 1
O enunciado dá as inclusões
e
e pede para mostrar que
Ou seja:
- Dados:
e . - Objetivo: provar que todo elemento de
também pertence a .
Passo 2
Vamos revisar definições essenciais (é importante entender bem elas antes de provar qualquer coisa).
Definição de subconjunto:
significa que "todo elemento de
é também elemento de
". Formalmente: para todo
, se
então
.
Definição de interseção:
é o conjunto dos elementos que pertencem simultaneamente a
e a
. Formalmente:
se, e somente se,
e
.
Passo 3
Escolha do método de prova (explicando por que): a forma mais direta e padrão para provar uma inclusão de conjuntos é o “prova por elemento arbitrário” (também chamado de element-chasing): pega-se um elemento genérico do conjunto da esquerda e mostra-se que ele pertence ao conjunto da direita. É simples, direto e funciona bem aqui porque as hipóteses
e
falam exatamente sobre a pertença de elementos.
Passo 4
Início da prova com um elemento arbitrário.
Seja
um elemento arbitrário tal que
Pelo que vimos na definição de interseção, isso significa que
Passo 5
Usar as hipóteses
e
.
Como
e sabemos que
, pela definição de subconjunto obtemos
De modo análogo, como
e
, obtemos
Passo 6
Concluir que
e, por arbitrariedade de
, a inclusão.
Tendo mostrado que
e
, pela definição de interseção segue que
Como
foi um elemento arbitrário de
e sempre chegamos a
, conclui-se que todo elemento de
pertence a
. Portanto
Passo 7
Um exemplo concreto (para fixar a intuição).
Tomemos
,
,
,
.
Então e
. Calculando interseções:
Então
Aqui claramente
, ilustrando a afirmação. (Em outros exemplos a interseção da direita pode ser maior, mas nunca conterá elementos fora do que vem da interseção da esquerda, quando as hipóteses de inclusão valem.)