Questão 6. O gráfico da função f (não dado explicitamente) apresenta as seguintes propriedades:
  • f^{\prime}(x)>0 em (-\infty,-2) e (1,+\infty);
  • f^{\prime}(x)<0 em (-2,1);
  • f^{\prime \prime}(x)>0 em (-\infty, 0);
  • f^{\prime \prime}(x)<0 em (0,+\infty).
Com base nessas informações:
a) Indique os intervalos de crescimento e decrescimento.
b) Classifique os pontos críticos em máximos ou mínimos relativos.
c) Identifique os intervalos de concavidade e o ponto de inflexão.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
  • f^{\prime}(x)>0 em (-\infty,-2) e em (1,+\infty).
  • f^{\prime}(x)<0 em (-2,1).
  • f^{\prime\prime}(x)>0 em (-\infty,0).
  • f^{\prime\prime}(x)<0 em (0,+\infty).
O enunciado pede:
a) Indicar os intervalos de crescimento e de decrescimento de f.
b) Classificar os pontos críticos (relativos) — ou seja, dizer se em x=-2 e x=1 (os candidatos) há máximo ou mínimo relativo.
c) Identificar os intervalos de concavidade e o(s) ponto(s) de inflexão.

Passo 2

Conceito usado — crescimento/decrescimento (aula rápida):
  • Se f^{\prime}(x)>0 em um intervalo, a função é crescente nesse intervalo. Isso significa que, se x_1<x_2 dentro do intervalo, então f(x_1)<f(x_2).
  • Se f^{\prime}(x)<0 em um intervalo, a função é decrescente nesse intervalo. Isso significa que, se x_1<x_2 dentro do intervalo, então f(x_1)>f(x_2).
Essas são regras básicas que você pode usar rapidamente na prova: basta olhar o sinal de f'.

Passo 3

Aplicando a regra de crescimento/decrescimento aos dados fornecidos:
  • Como o enunciado diz que f^{\prime}(x)>0 em (-\infty,-2), concluímos que f é crescente em (-\infty,-2).
  • Como f^{\prime}(x)<0 em (-2,1), concluímos que f é decrescente em (-2,1).
  • Como f^{\prime}(x)>0 em (1,+\infty), concluímos que f é crescente em (1,+\infty).
Portanto os intervalos de crescimento e decrescimento ficam claros a partir desses sinais de f'.

Passo 4

Conceito usado — pontos críticos e classificação pelo sinal de f' (Primeiro teste):
  • Um ponto crítico típico é um x_0 onde f'(x_0)=0 ou f' não está definida. Aqui, os candidatos dados são x=-2 e x=1 (os pontos onde o sinal de f' muda).
  • Regra prática (teste da primeira derivada): se f' muda de positivo para negativo ao passar por x_0, então f tem um máximo relativo em x_0. Se f' muda de negativo para positivo, então f tem um mínimo relativo.

Passo 5

Aplicando o teste da primeira derivada aos pontos dados:
  • Em x=-2: f^{\prime}(x)>0 para x<-2 (à esquerda) e f^{\prime}(x)<0 para x>-2 (à direita). Logo o sinal de f' muda de + para - em x=-2. Pelo teste da primeira derivada, isso indica que f tem um máximo relativo em x=-2.
  • Em x=1: f^{\prime}(x)<0 para x<1 (à esquerda) e f^{\prime}(x)>0 para x>1 (à direita). Logo o sinal de f' muda de - para + em x=1. Pelo teste da primeira derivada, isso indica que f tem um mínimo relativo em x=1.

Passo 6

Conceito usado — concavidade e ponto de inflexão:
  • A concavidade da função é determinada pelo sinal de f'':
    • Se f''(x)>0 em um intervalo, a função é côncava para cima (uma “cumbuca”) nesse intervalo.
    • Se f''(x)<0 em um intervalo, a função é côncava para baixo (uma “capinha”) nesse intervalo.
  • Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima, isto é, onde f'' muda de sinal.

Passo 7

Aplicando o conceito de concavidade aos dados fornecidos:
  • O enunciado diz f^{\prime\prime}(x)>0 em (-\infty,0). Portanto f é côncava para cima em (-\infty,0).
  • O enunciado diz f^{\prime\prime}(x)<0 em (0,+\infty). Portanto f é côncava para baixo em (0,+\infty).
  • Como o sinal de f'' muda de + para - ao passar por x=0, concluímos que x=0 é um ponto de inflexão (a concavidade muda aí).

Passo 8

Observações finais rápidas para a prova (como usar isto no exame):
  • Para (a) memorize: basta olhar onde f'>0 (cresce) e onde f'<0 (decresce).
  • Para (b) prefira o teste da primeira derivada (sinal de f' à esquerda/à direita do ponto) — é direto e confiável quando os sinais são dados.
  • Para (c) olhe o sinal de f'' e localize onde ele troca de sinal para achar pontos de inflexão.

Resposta

(a) Crescimento: (-\infty,-2) e (1,+\infty). Decrescimento: (-2,1).
(b) x=-2 é máximo relativo; x=1 é mínimo relativo.
(c) Concavidade para cima em (-\infty,0); concavidade para baixo em (0,+\infty). Ponto de inflexão: x=0.

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