Questão 6. O gráfico da função
(não dado explicitamente) apresenta as seguintes propriedades:
-
em
e
;
-
em
;
-
em
;
-
em
.
Com base nessas informações:
a) Indique os intervalos de crescimento e decrescimento.
b) Classifique os pontos críticos em máximos ou mínimos relativos.
c) Identifique os intervalos de concavidade e o ponto de inflexão.
a) Indique os intervalos de crescimento e decrescimento.
b) Classifique os pontos críticos em máximos ou mínimos relativos.
c) Identifique os intervalos de concavidade e o ponto de inflexão.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado nos dá e o que ele pede.
Dados fornecidos:
-
em e em . -
em . -
em . -
em .
O enunciado pede:
a) Indicar os intervalos de crescimento e de decrescimento de .
b) Classificar os pontos críticos (relativos) — ou seja, dizer se em e
(os candidatos) há máximo ou mínimo relativo.
c) Identificar os intervalos de concavidade e o(s) ponto(s) de inflexão.
a) Indicar os intervalos de crescimento e de decrescimento de
b) Classificar os pontos críticos (relativos) — ou seja, dizer se em
c) Identificar os intervalos de concavidade e o(s) ponto(s) de inflexão.
Passo 2
Conceito usado — crescimento/decrescimento (aula rápida):
- Se
em um intervalo, a função é crescente nesse intervalo. Isso significa que, se dentro do intervalo, então . - Se
em um intervalo, a função é decrescente nesse intervalo. Isso significa que, se dentro do intervalo, então .
Essas são regras básicas que você pode usar rapidamente na prova: basta olhar o sinal de
.
Passo 3
Aplicando a regra de crescimento/decrescimento aos dados fornecidos:
- Como o enunciado diz que
em , concluímos que é crescente em . - Como
em , concluímos que é decrescente em . - Como
em , concluímos que é crescente em .
Portanto os intervalos de crescimento e decrescimento ficam claros a partir desses sinais de
.
Passo 4
Conceito usado — pontos críticos e classificação pelo sinal de
(Primeiro teste):
- Um ponto crítico típico é um
onde ou não está definida. Aqui, os candidatos dados são e (os pontos onde o sinal de muda). - Regra prática (teste da primeira derivada): se
muda de positivo para negativo ao passar por , então tem um máximo relativo em . Se muda de negativo para positivo, então tem um mínimo relativo.
Passo 5
Aplicando o teste da primeira derivada aos pontos dados:
-
Em
: para (à esquerda) e para (à direita). Logo o sinal de muda de para em . Pelo teste da primeira derivada, isso indica que tem um máximo relativo em . -
Em
: para (à esquerda) e para (à direita). Logo o sinal de muda de para em . Pelo teste da primeira derivada, isso indica que tem um mínimo relativo em .
Passo 6
Conceito usado — concavidade e ponto de inflexão:
- A concavidade da função é determinada pelo sinal de
: - Se
em um intervalo, a função é côncava para cima (uma “cumbuca”) nesse intervalo. - Se
em um intervalo, a função é côncava para baixo (uma “capinha”) nesse intervalo.
- Se
- Um ponto de inflexão é um ponto onde a concavidade muda de cima para baixo ou de baixo para cima, isto é, onde
muda de sinal.
Passo 7
Aplicando o conceito de concavidade aos dados fornecidos:
- O enunciado diz
em . Portanto é côncava para cima em . - O enunciado diz
em . Portanto é côncava para baixo em . - Como o sinal de
muda de para ao passar por , concluímos que é um ponto de inflexão (a concavidade muda aí).
Passo 8
Observações finais rápidas para a prova (como usar isto no exame):
- Para (a) memorize: basta olhar onde
(cresce) e onde (decresce). - Para (b) prefira o teste da primeira derivada (sinal de
à esquerda/à direita do ponto) — é direto e confiável quando os sinais são dados. - Para (c) olhe o sinal de
e localize onde ele troca de sinal para achar pontos de inflexão.
Resposta
(a) Crescimento:
e
. Decrescimento:
.
(b) é máximo relativo;
é mínimo relativo.
(c) Concavidade para cima em ; concavidade para baixo em
. Ponto de inflexão:
.
(b)
(c) Concavidade para cima em