Seja V=R^3 e considere o conjunto B=(0,2,2),(2,2,0),(2,4,2) subset R^3.
Mostre que B não é base de R^3.

Passo 1

O enunciado define o espaço vetorial V = R^3 e o subconjunto
B = (0,2,2),;(2,2,0),;(2,4,2)subsetR^3
Queremos mostrar que B não é base de R^3. Para isso lembramos que um conjunto é base se, e somente se, seus vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.

Passo 2

Definição de base:
Um conjunto B de vetores em R^3 é base se (i) é linearmente independente e (ii) seu span é R^3. Basta falhar em um desses itens para não ser base.

Passo 3

Mostramos que os vetores de B são linearmente dependentes. Note que
(2,4,2) = (0,2,2) + (2,2,0)
Isso significa que existe uma combinação não trivial
1cdot(0,2,2) ;+;1cdot(2,2,0);-;1cdot(2,4,2);=;(0,0,0),
logo os vetores não são independentes.

Passo 4

Como B contém um vetor que é combinação linear dos outros, B é linearmente dependente. Dessa forma não pode ser base de R^3.

Resposta

B não é base de R^3 porque seus vetores são linearmente dependentes.

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