Seja
e considere o conjunto
.
Mostre que
não é base de
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado define o espaço vetorial
e o subconjunto
Queremos mostrar que
não é base de
. Para isso lembramos que um conjunto é base se, e somente se, seus vetores são linearmente independentes e geram todo o espaço.
Passo 2
Definição de base:
Um conjunto de vetores em
é base se (i) é linearmente independente e (ii) seu span é
. Basta falhar em um desses itens para não ser base.
Um conjunto
Passo 3
Mostramos que os vetores de
são linearmente dependentes. Note que
Isso significa que existe uma combinação não trivial
logo os vetores não são independentes.
Passo 4
Como
contém um vetor que é combinação linear dos outros,
é linearmente dependente. Dessa forma não pode ser base de
.