Seja
e considere
e
subespaços de
tais que
. Mostre que se
não está contido em
, então
.
Passo 1
O enunciado diz que
,
é um subespaço de dimensão
e
é um subespaço de dimensão
. Queremos mostrar que, se
não está contido em
, então
Para isso vamos usar a fórmula de dimensão para soma de subespaços e a definição de soma direta.
Passo 2
Mostramos primeiro que a interseção é trivial. Como
, existe um vetor não nulo
com
. Se
, então haveria um vetor não nulo em
que gera toda a reta
, o que implica
. Mas isso contraria a hipótese de que
não está contido em
. Portanto
Passo 3
Usamos a fórmula de dimensão para a soma de subespaços:
Substituindo
,
e
, obtemos
Como
, segue que
é um subespaço de dimensão 3 em
, logo
Passo 4
Concluímos que
-
, e -
.
Pelas definições, isso significa precisamente que
é a soma direta de
e
.