Seja V=R^3 e considere W1 e W2 subespaços de V tais que dim W1=1 e dim W2=2. Mostre que se W1 não está contido em W2, então V=W1 oplus W2.

Passo 1

O enunciado diz que V = R^3, W1 é um subespaço de dimensão dim W1 = 1 e W2 é um subespaço de dimensão dim W2 = 2. Queremos mostrar que, se W1 não está contido em W2, então
V = W1 oplus W2
Para isso vamos usar a fórmula de dimensão para soma de subespaços e a definição de soma direta.

Passo 2

Mostramos primeiro que a interseção é trivial. Como dim W1 = 1, existe um vetor não nulo v com W1 = spanv. Se ,W1cap W2neq0, então haveria um vetor não nulo em W2 que gera toda a reta W1, o que implica W1subseteq W2. Mas isso contraria a hipótese de que W1 não está contido em W2. Portanto
W1cap W2 = 0

Passo 3

Usamos a fórmula de dimensão para a soma de subespaços:
diml(W1 + W2r) = dim W1 + dim W2 - diml(W1cap W2r)
Substituindo dim W1 = 1, dim W2 = 2 e dim(W1cap W2)=0, obtemos
diml(W1 + W2r) = 1 + 2 - 0 = 3
Como dim V = 3, segue que W1 + W2 é um subespaço de dimensão 3 em V, logo
W1 + W2 = V

Passo 4

Concluímos que
  1. W1 + W2 = V, e
  2. W1cap W2 = 0.
Pelas definições, isso significa precisamente que V é a soma direta de W1 e W2.

Resposta

V = W1 oplus W2

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