Mostre que
[ll 1 & 0 0 & 0 ],[ll 0 & 1 0 & 0 ],[ll 0 & 0 1 & 0 ],[ll 0 & 0 0 & 1 ]
é base de M(2,2).

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
E11,E12,E21,E22
é base do espaço vetorial M(2,2) de todas as matrizes 2times2. Aqui o conteúdo é teoria de espaços vetoriais: para provar que um conjunto é base precisamos checar que ele é linearmente independente e que gera (faz a basear) todo o espaço.

Passo 2

Denotemos
E11=1&00&0, E12=0&10&0, E21=0&01&0, E22=0&00&1

Passo 3

Para verificar linearmente independência, suponha que existam escalares alpha,beta,gamma,de<a tais que
alpha E11+beta E12+gamma E21+de<a E22 =0&00&0
Somando as matrizes do lado esquerdo obtemos
alpha & beta [6pt] gamma & de<a =0&00&0
Comparando entradas vemos alpha=0, beta=0, gamma=0 e de<a=0. Logo só há combinação trivial, o que prova independência linear.]

Passo 4

Para mostrar que o conjunto gera , seja uma matriz qualquer
Basta escrever
pois
Isso mostra que qualquer está no span dos .

Passo 5

Como temos quatro vetores em M(2,2) (que é de dimensão 4), eles são independentes e geram todo o espaço, logo formam uma base de M(2,2).

Resposta

O conjunto E11,E12,E21,E22 é base de M(2,2).

Exercícios relacionados